Math Review: Linear Algebra

本期是线性代数的简单复习。

行列式

行列式的定义与性质

• 逆序数：若存在一个大数排在一个小数前面，则构成一个逆序

  $$\tau(n, n-1, \cdots, 1) = \frac{n(n-1)}{2}$$

• 行列式的定义：

  $$D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum(-1)^{\tau\left(j_1 \cdots j_i\right)} a_{1 j_i} \cdots a_{n j_n}$$

• 行列式的性质：

  • 行列式转置，行列式的值不变，即 $|A^T| = |A|$
  • 行列式的两行互换，行列式反号
  • 用 $k$ 乘以行列式，相当于用 $k$ 乘以该行列式的某一行
  • 如果行列式某行元素均为两个数之和，则其行列式可以分解为两个行列式之和
  • 将行列式的某行的 $k$ 倍加到另一行上去，行列式的值不变

• 常用公式：设 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶方阵，

  • $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$
  • $|\lambda A|=\lambda^n|A|$
  • $|A B|=|B A|=|A||B|$
  • $|A^k|=|A|^k$
  • 若 $A$ 可逆，$\left|A^{-1}\right|=\dfrac{1}{|A|}$
  • $\left|A^*\right|=|A|^{n-1}(n \ge 2)$
  • $|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$，其中 $\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值
  • 若 $A$ 和 $B$ 相似，则 $|A|=|B|$
  • 若 $A$ 和 $B$ 相似，$B$ 和 $C$ 相似，则 $|A|=|C|$

• 行列式的常用结论：

  • 若 $A$ 为方阵且 $|A| \neq 0$，那么
    • $r(A) = n$
    • $A$ 可逆，$A^*=|A| A^{-1}$
    • $Ax=0$ 仅有零解，$Ax=b$ 有唯一解
    • $A$ 的行（列）向量组没有多余的向量，线性无关
    • $A$ 的列向量组是 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的一组基
    • $A^T A$ 是正定矩阵
    • $A$ 的特征值不为 0
  • 若 $A$ 为方阵且 $|A| = 0$，那么
    • $r(A) < n$
    • $A$ 不可逆
    • $Ax=0$ 有非零解，$Ax=b$ 有无穷多解或无解
    • $A$ 的行（列）向量组有多余的向量，线性相关
    • $A^T A$ 是半正定矩阵
    • $A$ 有 0 特征值

行列式展开定理

• 代数余子式：$A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式

  • 只与位置有关，与被选中的元素无关

• 行列式展开定理：

  • 按某行展开：

    $$D_n=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}$$

  • 按某列展开：

    $$D_n=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}$$

  • 推论：替换法则

    $$a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\begin{cases} |A|, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$$

    • 行列式的某一行元素与该行元素的代数余子式对应相乘再相加后，其结果为该行列式的值；与另外一行元素的代数余子式对应相乘再相加后，其结果为 0

• 伴随矩阵：

  • 定义：

    $$A^*=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\ A_{22} & A_{22} & \cdots & A_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n} \end{pmatrix}^T=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{pmatrix}$$

  • 性质：

    $$AA^* = A^*A = |A| E$$

    当 $|A| \neq 0$ 时，

    $$A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$$

行列式的计算技巧

• 主对角行列式：

  $$D=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & & \\ & \ddots & \\ & & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & & \\ * & \ddots & \\ * & * & a_{n n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} a_{11} & * & * \\ & \ddots & * \\ & & a_{n n} \end{array}\right|=a_{11} \cdots a_{n n}$$

• 副对角行列式：

  $$D=\left|\begin{array}{ccc} & & a_{1 n} \\ & \ddots & \\ a_{n 1} & & \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} & & a_{1 n} \\ & \ddots & * \\ a_{n 1} & * & * \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc} * & * & a_{1 n} \\ * & \ddots & \\ a_{n 1} & & \end{array}\right|=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} \cdots a_{n 1}$$

• 矩阵分块行列式：

  $$\left|\begin{array}{cc} A & O \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} A & C \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} A & O \\ D & B \end{array}\right|=|A||B|$$

  $$\left|\begin{array}{cc} O & A_{n \times n} \\ B_{m \times m} & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} O & A \\ B & C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} D & A \\ B & O \end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B|$$

• 范德蒙行列式：

  $$V_n=\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{array}\right|=\prod_{n \geqslant i>j \geqslant 1}\left(x_i-x_j\right)$$

线性方程组

方程组的求解

• 线性方程组的形式：$Ax = b$（$n$ 个未知数，$m$ 个方程）

  $$\left\{\begin{array}{l} a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\ a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\ \cdots \cdots \\ a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_n \end{array}\right.$$

• 矩阵的初等行变换：都是同解变换，但初等列变换不是

  • 互换变换：两个方程之间互换位置
  • 倍乘变换：某个方程乘以一个常数 $k$ ($k \neq 0$)
  • 倍加变换：把一个方程的倍数加到另一个方程上

• 秩：有效方程的个数，即行最简矩阵非零行的行数、主变量的个数，用 $r$ 表示

  • $r(A) < m$，$r(A) < n$，即秩 $\le$ 行数，秩 $\le$ 列数

• 求解过程：

  • 预处理：自上而下，化为阶梯形矩阵
    • 若有零行，零行都在最下方
    • 非零行的第一个不为 0 的元素，称为主元
    • 并且下一行的主元在上一行主元的右下方

    $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m \end{bmatrix} \longrightarrow\begin{bmatrix} a & ? & \cdots & ? & c_1 \\ & b & \cdots & ? & c_2 \\ & & \ddots & \vdots & \vdots \\ & & & z & c_m \end{bmatrix} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} a x_1+?+\cdots+? & =c_1 \\ b x_2+\cdots+? & =c_2 \\ & \vdots \\ z x_n & =c_m \end{aligned}\right.$$

  • 最终型：自下而上，化为行最简矩阵
    • 是阶梯形矩阵
    • 非零行的主元都是 1
    • 每个主元所在的列其余元素都是 0

    $$\begin{bmatrix} a & ? & \cdots & ? & c_1 \\ & b & \cdots & ? & c_2 \\ & & \ddots & \vdots & \vdots \\ & & & z & c_m \end{bmatrix} \longrightarrow\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & d_1 \\ & 1 & \cdots & 0 & d_2 \\ & & \ddots & \vdots & \vdots \\ & & & 1 & d_m \end{bmatrix} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned} x_1+0+\cdots+0 & =d_1 \\ x_2+\cdots+0 & =d_2 \\ & \vdots \\ x_n & =d_m \end{aligned}\right.$$

• 解的情况：

  • 无解：$r(A) \neq r(A, b)$
  • 有唯一解：$r(A) = r(A, b) = n$
    • 有效方程的个数 = 未知数的个数
  • 有无穷解：$r(A) = r(A, b) < n$
    • 有效方程的个数 < 未知数的个数

• 无穷多解的表示：令自由变量为任意常数，主元通过自由变量表示

  • 重要关系：主变量个数（秩）+ 自由变量个数（基础解系向量的个数）= 未知数个数（系数矩阵的列数）
  • 自由变量的个数：$n - r(A)$
  • 基础解系中向量个数：$n - r(A)$

• 齐次线性方程组：$Ax = 0$

  • 有唯一解（零解）：$r(A) = n$
  • 有无穷解：$r(A) < n$

方程组解的结构与性质

• 基础解系的定义：若一组向量 $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots, \xi_s$ 满足以下三个条件：

  • 均是 $A x=0$ 的解
  • 向量之间线性无关
  • 共有 $n-r(A)$ 个

  则称 $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \cdots, \xi_s$ 是该齐次线性方程组的基础解系

• 齐次线性方程组的通解：基础解系中向量的线性组合

• 非齐次线性方程组的通解：对应齐次线性方程组的通解，加上一个特解

  • $Ax=b$ 有 $s+1$ 个无关解，则 $Ax=0$ 有 $s$ 个无关解
  • 若 $r(A) = m$，则 $Ax=b$ 一定有解
  • 若 $m < n$，则方程一定不是唯一解

公共解与同解

• 公共解的相关结论：

  • $A x=\xi$ 与 $B x=\eta$ 有公共解 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle r\binom{A}{B}=r\binom{A, \xi}{B, \eta}$
  • $A x=\xi$ 与 $B x=\eta$ 有唯一公共解 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle r\binom{A}{B}=r\binom{A, \xi}{B, \eta} = n$
  • $A x=0$ 与 $B x=0$ 有非零公共解 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle r\binom{A}{B} < n$
  • $A x=0$ 的基础解系是 $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s$，$B x=0$ 的基础解系是 $\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$，则两个方程组有非零公共解 $\Leftrightarrow \xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_s, \eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_s$ 线性相关

• 同解的相关结论：

  • $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解 $\Rightarrow$ $r(A) \ge r(B)$
  • $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解 $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}A x=0 \\ B x=0\end{array}\right.$ 和 $A x=0$ 的解是相同的 $\Leftrightarrow$ $\displaystyle r(A) = r\binom{A}{B}$
  • $A x=0$ 和 $B x=0$ 同解 $\Leftrightarrow$
    • $Ax = 0$ 的解都是 $Bx = 0$ 的解，$Bx = 0$ 的解都是 $Ax = 0$ 的解
    • $\displaystyle r(A) = r(B) = r\binom{A}{B}$，即 $A$ 与 $B$ 的行向量组等价
    • $A x=0$ 与 $B x=0$ 的基础解系（向量组）等价
    • $A x=0$ 与 $B x=0$ 的解空间是同一个空间
  • $A x=b$ 和 $B x=c$ 同解 $\Leftrightarrow$
    • $Ax = b$ 的解都是 $Bx = c$ 的解，$Bx = c$ 的解都是 $Ax = b$ 的解
    • $\displaystyle r(A, b) = r(B, c) = r\binom{A, b}{B, c}$，即 $(A, b)$ 与 $(B, c)$ 的行向量组等价

• 秩的相关结论：

  • 若 $P$ 为列满秩矩阵，$r(P A)=r(A)$，即左乘列满秩不改变秩
  • 若 $P$ 为行满秩矩阵，$r(A P)=r(A)$，即右乘行满秩不改变秩
  • $r(A)=r\left(A^T\right)=r\left(A^T A\right)=r\left(A A^T\right)$
  • $A_{m \times n} B_{n \times s}=O$, 则 $r(A)+r(B) \le n$
  • 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则 $A^n x=0$ 与 $A^{n+1} x=0$ 同解

• 线性方程组的常用结论：

  • $Ax=0$ 仅有零解：
    • 秩：$r(A) = n$
    • 向量组：$A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 列向量组线性无关
    • 行列式：若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A| \neq 0$
  • $Ax=0$ 有无穷多解：
    • 秩：$r(A) < n$
    • 向量组：
      • $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 列向量组线性相关
      • $A_{m \times n}$ ，若 $m<n$ ，则 $A x=0$ 必有无穷多解
    • 行列式：若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A| = 0$
  • $Ax = b$ 无解：
    • 秩：$r(A) < r(A, b) \Leftrightarrow r(A) + 1 = r(A, b)$
    • 向量组：$b$ 向量不可以由 $A$ 的列向量组线性表示
  • $Ax = b$ 有唯一解：
    • 秩：$r(A) = r(A, b) = n$
    • 向量组：
      • $b$ 向量可以由 $A$ 的列向量组唯一线性表示
      • $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 列向量组线性无关
    • 行列式：若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A| \neq 0$
  • $Ax = b$ 有无穷多解：
    • 秩：$r(A) = r(A, b) < n$
    • 向量组：
      • $b$ 向量可以由 $A$ 的列向量组无穷线性表示
      • $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$ 列向量组线性相关
    • 行列式：若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $|A| = 0$

向量组

• 线性表示：若存在一组常数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$，使得 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_n \alpha_n=\beta$，则称 $\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示

• 线性相关：存在不全为零的常数 $k_1, k_2, k_3$，使得 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3=0$ 成立

  • 向量组内部至少存在一个向量可以用其余向量线性表示

• 线性无关：仅有 $k_1=k_2=k_3=0$ 时，才使得 $k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3=0$ 成立

  • 向量组内部任何一个向量都不可以用其余向量线性表示

• 相关结论：

  • 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 相关，那么

    • 增加向量一定相关
    • 缩短向量一定相关

  • 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 无关，那么

    • 部分向量一定无关
    • 延长向量一定无关
    • 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta$ 仍无关，则 $\beta$ 不可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示
    • 若 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta$ 相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示，且表示方式唯一

  • $n$ 个 $m$ 维向量，若 $n > m$，必定线性相关

• 极大线性无关组：若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 内存在一个子向量组线性无关，且再往里面添加一个向量，整个向量组就线性相关，则称这个子向量组是向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 的一个极大线性无关组

  • 向量组中任一个向量都可以由向量组的极大无关组线性表示
  • 向量组的极大无关组可能不唯一，但所包含的向量个数一定相等
  • 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 本身就线性无关，则极大无关组为本身
  • 基础解系是解向量的极大线性无关组

• 向量组的秩：不同的极大无关组所含向量的个数相等，我们把极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩

  • 初等变换不改变矩阵的秩
  • 相关性：
    • 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性相关 $\Leftrightarrow r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)< n$
    • 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关 $\Leftrightarrow r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)= n$
  • 表示性：
    • $\beta$ 可以被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示 $\Leftrightarrow r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)$
    • $\beta$ 不可以被 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示 $\Leftrightarrow r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)+1$
  • 约束性：
    • 向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 中的向量均是 $m$ 维向量，则 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) \le n$ 且 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) \le m$

• 向量组的线性表示：若 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$，则向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 可以由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性表示

  • $\mathrm{(I)}$ 可由 $\mathrm{(II)}$ 表示 $\Rightarrow$ $r(\mathrm{I}) \le r(\mathrm{I I})$，$r(\mathrm{I I})=r(\mathrm{I I}, \mathrm{I})$
  • $\mathrm{(I)}$ 可由 $\mathrm{(II)}$ 表示，但$\mathrm{(II)}$ 不可由 $\mathrm{(I)}$ 表示 $\Rightarrow$ $r(\mathrm{I}) < r(\mathrm{I I})$
  • $\mathrm{(I)}$ 可由 $\mathrm{(II)}$ 表示，且 $\mathrm{(I)}$ 中向量个数大于 $\mathrm{(II)}$ 中向量个数 $\Rightarrow$ $\mathrm{(I)}$ 一定线性相关
  • 向量组等价，即$\mathrm{(I)}$ 可由 $\mathrm{(II)}$ 表示，且 $\mathrm{(II)}$ 可由 $\mathrm{(I)}$ 表示 $\Leftrightarrow$ $r(\mathrm{I})=r(\mathrm{II})=r(\mathrm{I}, \mathrm{II})$，即 $r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)=r\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m\right)=r\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n, \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_m\right)$

• 向量组等价与矩阵等价：

  • 向量等价：两个向量组可以相互线性表示
    • 充要条件：$r(\mathrm{I}) = r(\mathrm{II}) = r(\mathrm{I, II})$
  • 矩阵等价：形状相同的矩阵，秩相等，即 $r(A) = r(B)$

• 列满秩矩阵的性质：若 $A_{m \times n}$ 为列满秩矩阵，即 $r(A)=n$ ，则

  • 秩的角度：$r(A B)=r(B)$ ，至少有一个 $n$ 阶子式不为零（$n+1$ 阶都为零）
  • 向量角度：$A$ 的列向量线性无关，$A$ 有 $n$ 个行向量线性无关
  • 空间角度：$m \ge n$，即维数 $\ge$ 个数
  • 方程角度：$A x=0$ 仅有零解，$A x=b$ 可能无解，$A^T x=b$ 一定有解
  • 变换角度：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A=\binom{E_n}{O}$，即 $A$ 经过初等行变换可化为 $\displaystyle \binom{E_n}{O}$ 的形式
  • 正定矩阵：$A^T A$ 为正定矩阵

• 行满秩矩阵的性质：若 $A_{m \times n}$ 为列满秩矩阵，即 $r(A)=m$ ，则

  • 秩的角度：$r(BA)=r(B)$ ，至少有一个 $m$ 阶子式不为零（$m+1$ 阶都为零）
  • 向量角度：$A$ 的行向量线性无关，$A$ 有 $m$ 个列向量线性无关
  • 空间角度：$m \le n$，即维数 $\le$ 个数
  • 方程角度：$A x=b$ 一定有解，$A^T x=0$ 仅有零解，$A^T x=b$ 可能无解
  • 变换角度：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A P=\left(E_n, O\right)$，即 $A$ 经过初等列变换可化为 $\left(E_n, O\right)$ 的形式
  • 正定矩阵：$AA^T$ 为正定矩阵

矩阵

矩阵与逆矩阵

• 矩阵等价：同型矩阵，且秩相等

• 矩阵的乘法：$A_{m \times s} B_{s \times n}=C_{m \times n}$

  • 本质：
    • $C$ 的每行都是 $B$ 所有行向量的线性组合
    • $C$ 的每列都是 $A$ 所有列向量的线性组合
  • 性质：
    • 不满足交换律、消去律
    • 具有结合律、分配律
    • $r(C) \le r(B)$，$\displaystyle r(B)=r\binom{B}{C}$
    • $r(C) \le r(A)$，$r(A) = r(A, C)$
    • 若 $A$ 可逆，$B$ 和 $C$ 的行向量组等价
    • 若 $B$ 可逆，$A$ 和 $C$ 的列向量组等价

• 常用公式 1：

  • $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$
  • $(A^{\mathrm{T}})^*=(A^*)^{\mathrm{T}}$
  • $(A^{-1})^{\mathrm{T}}=(A^{\mathrm{T}})^{-1}$

• 常用公式 2：

  • $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$
  • $(A B)^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}$
  • $(A B)^*=B^* A^*$

• 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等行（列）变换对应的矩阵

  • 互换变换：互换初等阵，行列式为 $-1$

    $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix}$$

  • 倍乘变换：倍乘初等阵，行列式为 $k$

    $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ k a_{21} & k a_{22} & k a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

  • 倍加变换：倍加初等阵，行列式为 $1$

    $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & k \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21}+k a_{31} & a_{22}+k a_{32} & a_{23}+k a_{33} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$$

  • 本质：左乘代表初等行变换，右乘代表初等列变换

• 逆矩阵：

  • 定义：对于同阶方阵 $A, B$，若 $A B=E$ 或 $B A=E$，则称 $A$ 为可逆矩阵，并且 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵，即 $A^{-1} =B$
  • 求解方法：
    • 伴随求逆：$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} A^*$
    • 定义求逆：$A B=E$，则 $B = A^{-1}$ ($A, B$ 为同阶方阵)
    • 初等变换求逆：$(A, E) \xrightarrow{\text { 初等行变换 }}\left(E, A^{-1}\right)$ 或或 $\displaystyle \binom{A}{E} \xrightarrow{\text { 初等列变换 }}\binom{E}{A^{-1}}$
  • 性质：任何可逆的矩阵，可以通过有限次的初等行变换，化为同阶的单位矩阵，即存在初等矩阵 $P_1, P_2, \cdots, P_n$ ，使得 $P_n \cdots P_2 P_1 A=E$

• 常见的定义求逆：

  • $A^{-1}=\dfrac{A^*}{|A|}$（$|A| \neq 0$）
  • $(A^{-1})^{-1}=A$
  • $(k A)^{-1}=\dfrac{1}{k} A^{-1}$（$k \neq 0$）
  • $(A^{\mathrm{T}} )^{-1}=( A^{-1})^{\mathrm{T}}$
  • $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*$
  • $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$
  • $|A^{-1}|=\dfrac{1}{|A|}$
• • 矩阵的高次幂：数学归纳法、秩一矩阵、相似对角化、二项展开、分块矩阵

矩阵的秩

• 行最简矩阵的非零行行数：

  $$r(A B) \le \begin{cases} r(A) \\ r(B) \end{cases} \le \begin{cases} r(A, B) \\ \displaystyle r\binom{A}{B} \end{cases} \le r(A)+r(B)$$

• 非零子式的最高阶数：

  • 若有一个 $r$ 阶子式不等于零，$r(A) \ge r$
  • 若所有 $r+1$ 阶子式全为零，$r(A) \le r$

• 有效方程（独立向量）的个数：行秩等于列秩

  • 有效方程：$r(A) \le m$
  • 独立向量：$r(A) \le n$

• 分块矩阵的秩：

  $$\begin{cases} r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}=r(A)+r(B) \\ r\begin{pmatrix} O & B \\ A & O \end{pmatrix}=r(A)+r(B) \end{cases}$$

  $$\begin{cases} r\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix} \ge r(A)+r(B) \\ r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} \ge r(A)+r(B) \end{cases}$$

• 秩与线性表示：

  • I 可由 II 线性表示：

    $$\begin{cases} r(\mathrm{I}) \leqslant r(\mathrm{II}) \\ r(\mathrm{II})=r(\mathrm{II}, \mathrm{I}) \end{cases}$$

  • $AB = C$：
    • 列向量：$r(A)=r(A, A B)$
    • 行向量：$\displaystyle r(B)=r\binom{B}{A B}$

• 秩的相等：

  • 二秩相等（矩阵等价）：$r(A) = r(B)$
  • 三秩相等：
    • 向量组等价：$r(\mathrm{I})=r(\Pi)=r(\mathrm{I}, \mathrm{II})$
    • 方程组同解：$\displaystyle r(A)=r(B)=r\binom{A}{B}$
  • 四秩相等（转置矩阵）：$r(A)=r(A^{\mathrm{T}})=r(A^{\mathrm{T}} A)=r(A A^{\mathrm{T}})$

• 伴随矩阵的秩：

  $$r(A^*)= \begin{cases}n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A)<n-1\end{cases}$$

• 秩与方程组的解：

  • 若 $Ax = 0$ 的解都是 $Bx = 0$ 的解，则 $r(A) \ge r(B)$
  • 若 $AB = O$，则 $r(A) + r(B) \le n$

• 列满秩和行满秩：

  • 若 $P$ 为列满秩矩阵，则 $r(PA) = r(A)$
  • 若 $P$ 为行满秩矩阵，则 $r(AP) = r(A)$

分块矩阵

• 分块矩阵的转置：

  $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix} A^{\mathrm{T}} & C^{\mathrm{T}} \\ B^{\mathrm{T}} & D^{\mathrm{T}} \end{pmatrix}$$

• 分块矩阵的高次幂：

  $$\begin{pmatrix} A & & \\ & B & \\ & & C \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix} A^n & & \\ & B^n & \\ & & C^n \end{pmatrix}$$

• 分块矩阵的行列式：

  • 主对角线：

    $$\left|\begin{array}{ll} A & O \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} A & C \\ O & B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll} A & O \\ D & B \end{array}\right|=|A||B|$$

  • 副对角线：

    $$\left|\begin{array}{cc} O & A_{n \times n} \\ B_{m \times m} & O \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} O & A \\ B & C \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} D & A \\ B & O \end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B|$$

• 分块矩阵的逆：

  • 主对角线：

    $$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ -B^{-1} C A^{-1} & B^{-1} \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \\ O & B^{-1} \end{pmatrix}$$

  • 副对角线：

    $$\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} C & A \\ B & O \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} O & B^{-1} \\ A^{-1} & -A^{-1} C B^{-1} \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} O & A \\ B & C \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} -B^{-1} C A^{- 1} & B^{-1} \\ A^{-1} & O \end{pmatrix}$$

• 分块矩阵的秩：

  $$\begin{cases} r\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \end{pmatrix}=r(A)+r(B) \\ r\begin{pmatrix} O & B \\ A & O \end{pmatrix}=r(A)+r(B) \end{cases}$$

  $$\begin{cases} r\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \end{pmatrix} \ge r(A)+r(B) \quad \text{当 } A \text{ 行满秩或 } B \text{ 列满秩时取等} \\ r\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \end{pmatrix} \ge r(A)+r(B) \quad \text{当 } A \text{ 列满秩或 } B \text{ 行满秩时取等} \end{cases}$$

• 广义初等变换：以行变换为例

  • 行互换：

    $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1 \leftrightarrow r_2}\begin{pmatrix} C & D \\ A & B \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} O & E \\ E & O \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C & D \\ A & B \end{pmatrix}$$

  • 行倍乘：

    $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \xrightarrow[(|M| \neq 0)]{M r_1}\begin{pmatrix} M A & M B \\ C & D \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} M & O \\ O & E \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} M A & M B \\ C & D \end{pmatrix}$$

  • 行倍加：

    $$\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \xrightarrow{r_1-M r_2}\begin{pmatrix} A+M C & B+M D \\ C & D \end{pmatrix}$$

    $$\begin{pmatrix} E & M \\ O & E \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} A+M C & B+M D \\ C & D \end{pmatrix}$$

相似

特征值与特征向量

• 相似的定义：对于方阵 $A$ 和 $B$，若存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A P=B$，则称 $A$ 和 $B$ 相似

  • 相似对角化：若 $P^{-1} A P=\Lambda$ ，则称 $A$ 可以相似对角化，即

    $$P^{-1} A P=\Lambda=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix}$$

    其中 $\lambda$ 是矩阵的特征值，$P$ 的列向量 $\xi$ 是该特征值对应的特征向量（非零）
  • 矩阵高次幂：若 $A=P B P^{-1}$，可以将求 $A$ 的高次幂问题转化为求 $B$ 的高次幂，即

    $$A^n=P B P^{-1} P B P^{-1} \cdots P B P^{-1}=P B^n P^{-1}$$

• 相似对角化的求解：目标是求解可逆矩阵 $P$

$$\begin{gathered} A P=P \Lambda \\ P=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right) \end{gathered} \quad \Longrightarrow \quad A\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\right)\begin{pmatrix} \lambda_1 & & & \\ & \lambda_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_n \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad \left\{\begin{array}{c} A \xi_1=\lambda_1 \xi_1 \\ A \xi_2=\lambda_2 \xi_2 \\ \vdots \\ A \xi_n=\lambda_n \xi_n \end{array}\right. \quad \Longrightarrow \quad \begin{gathered} (A \xi - \lambda \xi) = 0 \\ \text{即 } (A - \lambda E) \xi = 0 \end{gathered} \quad \Longrightarrow \quad (A - \lambda E) x = 0 \text{ 有非零解 } \quad \Longrightarrow \quad |A - \lambda E| = 0$$

• 特征值的性质：

  • $\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n=|A|$
  • $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\operatorname{tr}(A)$

• 代数重数与几何重数：代数重数 $\ge$ 几何重数

  • 代数重数：某特征值是几重根
  • 几何重数：某特征值对应几个无关的特征向量
  • 性质：
    • $k$ 重特征值，最多有 $k$ 个无关的特征向量
    • $A$ 有 $n$ 个特征值，则 $A$ 最多有 $n$ 个线性无关的特征向量

• 特征向量的性质：

  • 属于同一特征值的特征向量其线性组合得到的非零向量，仍是该特征值的特征向量
  • 不同特征值的特征向量一定线性无关；其线性组合的非零向量，一定不是 $A$ 的特征向量
  • 若 $f(A) = O$，那么 $f(\lambda) = 0$

• 相似对角化的判断：

  • 充要条件：代数重数等于几何重数
    • $k$ 重特征值，都有 $k$ 个无关的特征向量，即共有 $n$ 个无关的特征向量
  • 充分条件：
    • 特征值全都不同
    • 实对称矩阵
    • 秩一矩阵，且迹不为零
    • 上（下）三角矩阵，且主对角线元素全不同
    • $(A - aE)(A - bE) = O$ 且 $a \neq b$

• 特征值与特征向量的推广：

  矩阵	$A$	$aA + bE$	$A^n$	$f(A)$	$A^{- 1}$	$A^*$	$A^T$	$P^{-1} A P$
  特征值	$\lambda$	$a \lambda+b$	$\lambda^n$	$f(\lambda)$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{|A|}{\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$
  特征向量	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\beta$	$P^{-1} \xi$

• 相似的性质：可用于证明两个矩阵不相似

  • 所有数值型性质都相等
    • $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(B)$
    • $|A|=|B|$
    • $r(A)=r(B)$
    • $\lambda_A=\lambda_B$
    • $|A-\lambda E|=|B-\lambda E|$
  • 三大重要矩阵对应相似
    • $A^{\mathrm{T}} \sim B^{\mathrm{T}}$
    • $A^{-1} \sim B^{-1}$
    • $A^* \sim B^*$
    • $f(A) \sim f(B)$
  • 相似的传递性：若 $A \sim C$ 且 $B \sim C$，则 $A \sim B$

• 相似的证明：

  • 定义法：直接找到可逆矩阵 $P$，使得 $P^{-1} A P=B$
  • 相似传递性：$A$ 和 $B$ 相似于同一个矩阵 $C$（一般为对角阵）
  • 相似转换性：若 $A^{-1} \sim B^{-1}$ 或 $A^T \sim B^T$ 或 $A \pm kE \sim B \pm kE$，则 $A \sim B$
  • 线性方程组：设 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$，解矩阵方程 $A P=P B$

• 相似矩阵的推论：

  $A \sim B$	$A+k E \sim$ $B+k E$	$A^{-1} \sim B^{-1}$	$A^{\mathrm{n}} \sim B^{\mathrm{n}}$	$A^* \sim B^*$	$A^{\mathrm{T}} \sim B^{\mathrm{T}}$
  $P$	$P$	$P$	$P$	$P$ 或 $\left(P^*\right)^{-1}$	$\left(P^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
  $P^{-1}AP = B$	$P^{-1}(A+k E) P$ $=B+k E$	$P^{-1} A^{-1} P=B^{-1}$	$P^{-1} A^{\mathrm{n}} P=B^{\mathrm{n}}$	$P^{-1} A^* P=B^*$	$P^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}}\left(P^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=B^{\mathrm{T}}$

秩一矩阵

• 定义：$r(A)=1$

• 性质：

  • 矩阵各列（行）成比例
  • 分解：$A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$
  • 迹：$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n a_{i i}=\beta^{\mathrm{T}} \alpha$
  • 特征向量：$\alpha$ 是 $A$ 的属于特征值迹的特征向量，即 $A \alpha = \operatorname{tr}(A) \alpha$
  • 高次幂：$A^n=\left[\operatorname{tr}(A)^{n-1}\right] A$
  • 特征值：$\lambda_1=\lambda_2=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \lambda_n=\operatorname{tr}(A)$
  • 相似对角化：充要条件是 $\operatorname{tr}(A) \neq 0$

实对称矩阵的相似对角化

• 正交矩阵：

  • 定义：$Q Q^{\mathrm{T}}=Q^{\mathrm{T}} Q=E$，即 $Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}$
  • 特点：由两两正交的单位列（行）向量拼成
  • 性质：
    • $|Q|=1 \text{ 或 } -1$
    • 特征值为 $1$ 或 $-1$
    • 元素均小于等于 $1$，若存在 $1$，则该列该行其余元素均为 $0$
    • $Q^{\mathrm{T}}, Q^{-1}, Q^*$ 均是正交矩阵
    • $A, B$ 均为正交矩阵，则 $A B$ 和 $B A$ 也是正交矩阵
    • $\beta=Q \alpha$ 为正交变换，且 $\|\alpha\|=\|\beta\|$（不改变向量长度）
    • $A$ 是正交矩阵，则 $A^{\mathrm{T}}$ 是 $A X=E$ 的解

• 实对称矩阵的性质：

  • 相关矩阵：$A^*, A^{-1}, A^{\mathrm{T}}$ 以及 $f(A)$ 也为实对称
  • 特征值：特征值均为实数
  • 特征向量：
    • 不同特征值的特征向量一定线性无关，并且正交
    • 属于同一特征值的特征向量也一定线性无关，可以将其化为彼此正交
  • 相似对角化：一定可以相似对角化，并且存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^T A Q=\Lambda$

• 施密特正交化：将重根的特征向量正交化

  $$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \beta_1=\alpha_1 \\ \displaystyle \beta_2=\alpha_2-\frac{\left(\alpha_2, \beta_1\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1 \\ \displaystyle \beta_3=\alpha_3-\frac{\left(\alpha_3, \beta_1\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1-\frac{\left(\alpha_3, \beta_2\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2 \\ \ldots \ldots \\ \displaystyle \beta_k=\alpha_k-\frac{\left(\alpha_k, \beta_1\right)}{\left(\beta_1, \beta_1\right)} \beta_1-\frac{\left(\alpha_k, \beta_2\right)}{\left(\beta_2, \beta_2\right)} \beta_2 \cdots-\frac{\left(\alpha_k, \beta_{k-1}\right)}{\left(\beta_{k-1}, \beta_{k-1}\right)} \beta_{k-1} \end{array}\right.$$

二次型

线性变换的本质

• 二次型的概念：含多个变量，不含常数的二元齐次函数

  • 普通形式：

    $$\begin{aligned} f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) & =a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+\cdots+a_{n n} x_n^2 \\ & +2 a_{12} x_1 x_2+2 a_{13} x_1 x_3+\cdots+2 a_{1 n} x_1 x_n \\ & ~~\vdots \\ & +2 a_{n-1, n} x_{n-1} x_n \end{aligned} \Leftrightarrow\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{pmatrix}$$

  • 矩阵形式：

    $$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=x^{\mathrm{T}} A x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}$$

    其中 $A$ 为实对称矩阵

• 标准形与坐标变换：

  • 二次型的标准形：$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=a_{11} x_1^2+a_{22} x_2^2+\cdots+a_{n n} x_n^2$，是只含平方项、不含交叉项的二次型函数（有无数种）
  • 坐标变换：$x = Py$

    $$x=P y \Leftrightarrow\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \Leftrightarrow\begin{cases} x_1=a_{11} y_1+a_{12} y_2+a_{13} y_3 \\ x_2=a_{21} y_1+a_{22} y_2+a_{23} y_3 \\ x_3=a_{31} y_1+a_{32} y_2+a_{33} y_3 \end{cases}$$

    只有 $P$ 可逆的情况下，坐标之间可以一对应，变换才有意义.
  • 合同的定义：$f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x^{\mathrm{T}} A x$，经过可逆线性变换 $x=P y$，

    $$f=x^{\mathrm{T}} A x=(P y)^{\mathrm{T}} A(P y)=y^{\mathrm{T}}\left(P^{\mathrm{T}} A P\right) y=y^{\mathrm{T}} B y$$

    即

    $$P^{\mathrm{T}} A P=B$$

    则称 $A$ 和 $B$ 合同
  • 合同对角化：若 $B$ 是一个对角阵，即 $P^T A P = \Lambda$，则称为合同对角化，可以得到标准形 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=k_1 y_1^2+k_2 y_2^2+k_3 y_3^2$

• 二次型的规范形：

  • 定义：规范形是特殊的标准形，平方项前面的系数只取 $1,-1,0$，标准形不唯一，但规范形唯一
  • 标准形：$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=k_1 x_1^2+k_2 x_2^2+\cdots+k_n x_n^2$（按照正负零排序）
  • 规范形：$f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=d_1 x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_n x_n^2$（$d_i=1 \text{ 或 } -1 \text{ 或 } 0$）
  • 惯性指数：
    • 正惯性指数 $p$ $=$ 标准形正平方项的个数 $=$ 正特征值的个数 $=$ 规范形 $1$ 的个数
    • 负惯性指数 $q$ $=$ 标准形负平方项的个数 $=$ 负特征值的个数 $=$ 规范形 $-1$ 的个数
  • 二次型矩阵的秩：$r(A)=p+q$
  • 惯性定理：二次型经过多次可逆线性变换，正负惯性指数恒不变，正负特征值个数不变，秩不变

• 二次型化标准形：

  • 配方法：普通的可逆变换，不改变图像类型
    • 方法：一次解决一项，第一次配方把所有含 $x_1$ 的项吸收，第二次把所有含 $x_2$ 的项吸收，配完项得到 $y = Cx$，再取逆得到 $x = C^{-1}y$
  • 正交变换法：特殊的可逆变换，不改变图像形状
    • 特点：化为标准形等价于实对称矩阵的相似对角化，系数均为特征值

    $$f=x^{\mathrm{T}} A x \xrightarrow{x=Q y} g=(Q y)^{\mathrm{T}} A(Q y)=y^\mathrm{T}\left(Q^\mathrm{T} A Q\right) y=y^{\mathrm{T}} \Lambda y=\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2$$

正定二次型

• 二次型的分类：设有二次型 $f = x^T A x$

  • 正定二次型：恒有 $f \ge 0$，且当且仅当 $x = 0$ 时，$f = 0$
  • 半正定二次型：恒有 $f \ge 0$，且存在多个 $x$ 使得 $f = 0$
  • 负定二次型：恒有 $f \le 0$，且当且仅当 $x = 0$ 时，$f = 0$
  • 半负定二次型：恒有 $f \le 0$，且存在多个 $x$ 使得 $f = 0$

• 正定二次型的判定：二次型矩阵是实对称矩阵，并且满足以下四个条件之一：

  • 定义法：$f=x^T A x \ge 0$，当且仅当 $x = 0, f = 0$
  • 顺序主子式法：顺序主子式均 $>0$
  • 正惯性指数法：正惯性指数 $=n$ 或 所有特征值均 $>0$ 或 $A$ 与 $E$ 合同（即 $P^T A P=E$ 或 $A=C^T C$）

向量空间

向量空间的本质

• 向量空间的概念：

  • 向量空间：$n$ 维实向量的全体构成的集合称为 $n$ 维向量空间，记为 $R^n$；设 $V$ 是 $R^n$ 的一个非空子集，且对加法和数乘运算封闭，则称 $V$ 是 $R^n$ 的一个子空间，简称为向量空间 $V$
  • 基：向量空间 $V$ 的一个向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 线性无关，且 $V$ 中每个向量都能由它线性表示，则称它为向量空间的一个基
  • 维数：向量空间的基所含向量个数为该空间的维数
  • 坐标：$\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 是向量空间 $V$ 中的一个基，设 $\boldsymbol{\alpha}=x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_r \boldsymbol{\alpha}_r$，则称 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_r\right)$ 为 $\boldsymbol{\alpha}$ 在这组基下的坐标．

• 基变换与坐标变换：

  • 过渡矩阵：设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 和 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 为 $n$ 维向量空间 $V$ 中的两组基，显然 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 中每一个向量，都可以由基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 线性表示，即

    $$\begin{cases}\boldsymbol{\beta}_1=c_{11} \boldsymbol{\alpha}_1+c_{21} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+c_{n 1} \boldsymbol{\alpha}_n \\ \boldsymbol{\beta}_2=c_{12} \boldsymbol{\alpha}_1+c_{22} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+c_{n 2} \boldsymbol{\alpha}_n \\ \cdots \\ \boldsymbol{\beta}_n=c_{1 n} \boldsymbol{\alpha}_1+c_{2 n} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+\boldsymbol{c}_{n n} \boldsymbol{\alpha}_n\end{cases}$$

    令

    $$\boldsymbol{C}=\left(c_{i j}\right)_n=\begin{pmatrix}c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 n} \\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n 1} & c_{n 2} & \cdots & c_{n n}\end{pmatrix}$$

    得矩阵表达式：

    $$\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right) \boldsymbol{C}$$

    该公式称之为基变换公式. 从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 所用到的可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$ 称为过渡矩阵.
  • 坐标变换公式：设向量 $\gamma$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 下的坐标为 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$，在基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 下的坐标为 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{C}$ 为从基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵，则有

    $$\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}=\boldsymbol{C}\begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix} \quad \text{或} \quad \begin{pmatrix}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}=\boldsymbol{C}^{-1}\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}$$

    称为向量在不同基下的坐标变换公式.
  • 正交基与规范（标准）正交基：向量空间的一组基，如果其中的向量两两正交，称为正交基；特殊的，如果每个向量都是单位向量，则称为规范正交基.

参考资料

本笔记参考 B 站 UP 当年线代视频。