Math Review: Calculus

本期是微积分/高等数学的简单复习。

极限与连续

数列极限

• 数列极限的定义：设 $\{x_n\}$ 为一数列. 若存在常数 $A$，使得 $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}$，当 $n > N$ 时，有

  $$|x_n - a| < \varepsilon$$

  则称 $\{x_n\}$ 的极限为 $A$，或称 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$.

• 常见数列极限：

  • $$\lim _{n \rightarrow \infty} q^n=0 \quad(|q|<1)$$

  • $$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a}=1 \quad(a>0)$$

  • $$\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$$

  • $$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_0 n^l+a_1 n^{l-1}+\cdots+a_l}{b_0 n^m+b_1 n^{m-1}+\cdots+b_m}==\begin{cases}0,\quad(l<m) \\ \dfrac{a_0}{b_0},\quad(l=m) \\ \infty,\quad(l>m)\end{cases}$$

  • $$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e}$$

• 判断数列收敛的方法：

  • 单调数列定理：设 $\{x_n\}$ 单调增加. 则当 $\{x_n\}$ 有上界时，$\{x_n\}$ 收敛，且

    $$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\sup _{k \in \mathbb{N}}\left\{x_k\right\}$$

  • Cauchy 收敛准则：若数列 $\{x_n\}$ 满足

    $$\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N, \forall p \in \mathbb{N}:\left|x_{n+p}-x_n\right|<\varepsilon$$

    则 $\{x_n\}$ 收敛.

• 判断数列发散的方法：

  • 归并性定理：

    $$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=A \Leftrightarrow \forall\left\{x_n\right\} \text { 的子列 }\left\{x_{n_k}\right\} \text {, 有 } \lim _{k \rightarrow \infty} x_{n_k}=A$$

    若能找到 $\{x_n\}$ 的一个发散子列或两个极限不同子列，就可断定 $\{x_n\}$ 发散.

  • Cauchy 发散准则：若数列 $\{x_n\}$ 满足

    $$\exists \varepsilon_0>0, \forall N \in \mathbb{N}, \exists n>N, \exists p \in \mathbb{N}:\left|x_{n+p}-x_n\right| \geq \varepsilon_0$$

    则 $\{x_n\}$ 发散.

函数极限

• 函数极限的定义：设 $f: \, \stackrel{\circ}{U}(x_0) \to \mathbf{R}$. 若 $\exists A, \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有

  $$|f(x)-A|<\varepsilon$$

  则称当 $x \rightarrow x_0$ 时，$f(x)$ 的极限为 $A$，或 $f(x)$ 收敛于 $A$.

• 函数极限存在准则：

  • Heine 定理：$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \Leftrightarrow$

    $$\forall \lim _{n \rightarrow \infty} x_n=x_0 \text { 且 } x_n \neq x_0, \text { 均有 } \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=A$$

    • 定理揭示了函数极限与函数值数列极限间的关系，常用于判定函数极限不存在.

  • Cauchy 收敛准则：$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \text{ 存在 } \Leftrightarrow$

    $$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in \, \stackrel{\circ}{U}\left(x_0, \delta\right):\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$$

  • 单调函数极限：设 $f$ 在 $\stackrel{\circ}{U}_{-}(x_0)$ 单调，则

    • 当 $f$ 递增有上界时，$\displaystyle\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\sup f(\stackrel{\circ}{U}_{-}(x_0))$
    • 当 $f$ 递增无上界时，$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=+\infty$
    • 当 $f$ 递减有下界时，$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\inf f(\stackrel{\circ}{U}_{-}(x_0))$
    • 当 $f$ 递减无下界时，$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=-\infty$

• 夹逼性：设 $x \in \, \stackrel{\circ}{U}\left(x_0\right)$ 时，$g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ ，且

  $$\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=A=\lim _{x \rightarrow x_0} h(x)$$

  则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$.

• 两个重要极限：

  • $$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$$

  • $$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$$

• 无穷小的比较：

  • 设 $\lim \alpha(x)=0=\lim \beta(x)$，且 $\lim \dfrac{\beta(x)}{\alpha(x)}=l$，
    • 当 $l=0$，则称 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的高阶无穷小，记为 $\beta(x)=o(\alpha(x))$
    • 当 $l \neq 0$ ，则称 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 是同阶无穷小，记为 $\beta(x)=O(\alpha(x))$
    • 当 $l=1$ ，则称 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 是等价无穷小，记为 $\beta(x) \sim \alpha(x)$
  • 设 $\lim \alpha(x)=0=\lim \beta(x)$ ，且 $\exists c \neq 0$，使 $\beta(x) \sim c \alpha^k(x)$，则称 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的 $k$ 阶无穷小

• 常用的等价无穷小：当 $x \to 0$ 时，常用等价无穷小有

  • $$x \sim \sin x \sim \ln (1+x) \sim \mathrm{e}^x-1 \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x$$

  • $$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2},(1+x)^\alpha-1 \sim \alpha x \quad(\alpha \in \mathbb{R})$$

  其中 $x$ 可换为无穷小（函数）.

函数的连续性

• 函数连续的定义：设 $f: U\left(x_0\right) \rightarrow \mathbf{R}$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，则称 $f$ 在 $x_0$连续，$x_0$ 称为 $f$ 的连续点．否则称 $f$ 在 $x_0$ 间断， $x_0$ 称为 $f$ 的间断点.

  • $\varepsilon-\delta$ 表述：$f(x)$ 在 $x_0$ 连续，即 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$，当 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$

• 间断点的分类：

  • 第一类间断点：左、右极限都存在
    • $x_0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点：$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，但 $f(x)$在 $x_0$ 无定义或有定义时，但 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$.
    • $x_0$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的左、右极限存在但不相等，即 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)$.
  • 第二类间断点：左、右极限至少一个不存在
    • $x_0$ 为 $f(x)$ 的无穷间断点：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$.
    • $x_0$ 为 $f(x)$ 的振荡间断点：若 $x \rightarrow x_0$ 时，函数可取到两个不同的值无穷多次而无极限.

• 闭区间上连续函数的性质：

  • 零值定理：若 $f \in \mathrm{C}[a, b]$，且 $f(a) \cdot f(b)<0$，则 $\exists \xi \in(a, b)$，使得 $f(\xi)=0$.
  • 介值定理：若 $f \in \mathrm{C}[a, b]$，且 $f(a)<f(b)$，则对 $\forall \mu \in(f(a), f(b)), \exists \xi \in(a, b)$，使得 $f(\xi)=\mu$.
  • 有界性定理：若 $f \in \mathrm{C}[a, b]$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 有界.
  • 最值定理：若 $f \in \mathrm{C}[a, b]$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有最大值和最小值，即 $\exists \xi_1, \xi_2 \in[a, b]$，使得

    $$f\left(\xi_1\right)=m=\min _{x \in[a, b]} f(x), f\left(\xi_2\right)=M=\max _{x \in[a, b]} f(x) .$$

• 一致连续的定义：设 $f: E \rightarrow \mathbf{R}$. 若 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in E$ 且 $\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta$，有

  $$\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$$

  则称 $f$ 在 $E$ 上一致连续，记为 $f \in \operatorname{U.C}(E)$.

  • 不一致连续的叙述：$\exists \varepsilon_0>0$ 及 $x_n^{\prime}, x_n^{\prime \prime} \in E$：$\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n^{\prime}-x_n^{\prime \prime}\right)=0$，但 $\left|f\left(x_n^{\prime}\right)-f\left(x_n^{\prime \prime}\right)\right| \geq \varepsilon_0$.

导数与微分

导数的概念

• 导数的定义：设 $y=f(x)$ 在 $U\left(x_0\right)$ 有定义，自变量增量 $\Delta x=x-x_0$ ，函数增量 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ ，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数

  $$f^{\prime}\left(x_0\right) \stackrel{\text { def }}{=} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} .$$

  此时称 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导. 若极限不存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不可导.

• 可导与连续：

  • 可导必连续：若 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 可导，则 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续.
  • 连续未必可导

导数的计算

• 基本导数表：
  • $(C)^{\prime}=0$
  • $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha x^{\alpha-1}$
  • $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \ln a$
  • $\left(\mathrm{e}^x\right)^{\prime}=\mathrm{e}^x$
  • $\left(\log _a^x\right)^{\prime}=\dfrac{1}{x \ln a}$
  • $(\ln x)^{\prime}=\dfrac{1}{x}$
  • $(\sin x)^{\prime}=\cos x$
  • $(\cos x)^{\prime}=-\sin x$
  • $(\tan x)^{\prime}=\sec ^2 x$
  • $(\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x$
  • $(\arcsin x)^{\prime}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arccos x)^{\prime}=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
  • $(\arctan x)^{\prime}=\dfrac{1}{1+x^2}$

微分

• 微分的定义：若 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 处的增量可表示为

  $$\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$$

  其中常数 $A$ 与 $\Delta x$ 无关，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可微，$A \Delta x$ 称为 $f$ 在 $x_0$ 处的微分.

• 可导与可微：$f$ 在 $x_0$ 处可微 $\Leftrightarrow f$ 在 $x_0$ 处可导．且

  $$\left.\mathrm{d} f\right|_{x=x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \mathrm{d} x$$

  • 微分公式：$\mathrm{d} y=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$

• 一阶微分形式不变性：不论 $u$ 是自变量，还是中间变量，函数 $y=f(u)$ 的一阶微分的形式一样.

高阶导数

• Leibniz 法则：设函数 $u, v$ 有 $n$ 阶导数，则

  $$(u v)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \mathrm{C}_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} .$$

• 二阶微分不具有形式不变性

微分中值定理及导数的应用

微分中值定理

• 极值的定义：设 $f: U\left(x_0, \delta\right) \rightarrow \mathbf{R}$，若对 $\forall x \in U\left(x_0, \delta\right)$ ，都有

  $$f\left(x_0\right) \geq f(x)$$

  则称 $f\left(x_0\right)$ 为 $f$ 的极大值，点 $x_0$ 为 $f$ 的极大值点.

  • 极值点与最值点的关系：定义域内部的最值点一定是极值点.

• Fermat 引理：设 $f$ 在 $x_0$ 取极值，且 $f$ 在 $x_0$ 可导，则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$.

  • 含义：可导的极值点必为驻点.

• Rolle 定理：设 $f \in \mathrm{C}[a, b] \cap \mathrm{D}(a, b)$，且 $f(a)=f(b)$，则 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得

  $$f^{\prime}(\xi)=0 .$$

• Lagrange 定理：设 $f \in \mathrm{C}[a, b] \cap \mathrm{D}(a, b)$，则 $\exists \xi \in(a, b)$ 使得

  $$f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

• Cauchy 定理：设 $f, g \in \mathrm{C}[a, b] \cap \mathrm{D}(a, b)$，且 $\forall x \in(a, b), g^{\prime}(x) \neq 0$，则 $\exists \xi \in(a, b)$ 使

  $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$$

• Darboux 定理：设 $f \in \mathrm{D}[a, b]$，且 $f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)<0$，则 $\exists \xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$.

• 导数极限：设 $f$ 在 $x_0$ 处连续，在 $\stackrel{\circ}{U}\left(x_0, \delta\right)$ 可导，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f^{\prime}(x)=A \in \mathbb{R}$，则 $f$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=A$.

L’Hospital 法则

• $\dfrac{0}{0}$ 型不定式：设 $f, g: \stackrel{\circ}{U}\left(x_0, \delta\right) \rightarrow \mathbf{R}$ 满足

  • $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=0=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$，
  • $f, g \in D \stackrel{\circ}U\left(x_0, \delta\right)$，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$，
  • $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$ (或 $\pm \infty$). 则

  $$\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A \quad \text {(或} \pm \infty \text {)}$$

• $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型不定式：设 $f, g: \stackrel{\circ}{U}\left(x_0, \delta\right) \rightarrow \mathbf{R}$ 满足

  • $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty=\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$，
  • $f, g \in D \stackrel{\circ}U\left(x_0, \delta\right)$，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$，
  • $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A$ (或 $\pm \infty$). 则

  $$\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=A \quad \text {(或} \pm \infty \text {)}$$

Taylor 定理及其应用

• 带 Peano 余项的 Taylor 公式：设 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则

  $$\begin{aligned} f(x)= & f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2!}\left(x-x_0\right)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n+o\left(x-x_0\right)^n \\ = & \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}\left(x-x_0\right)^k+o\left(x-x_0\right)^n \end{aligned}$$

• 带 Lagrange 型余项的 Taylor 公式：设 $x_0 \in(a, b)$，$f$ 在 $(a, b)$ 内 $n+1$ 阶可导，则对 $\forall x \in(a, b), \exists \xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 间，使

  $$f(x) =\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}\left(x-x_0\right)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\left(x-x_0\right)^{n+1}$$

  • 增量形式：

    $$f\left(x_0+\Delta x\right)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k!}(\Delta x)^k+\frac{f^{(n+1)}\left(x_0+\theta \Delta x\right)}{(n+1)!}(\Delta x)^{n+1}, ~(0 < \theta < 1).$$

• Maclaurin 公式：当 $x_0 = 0$ 时的 Taylor 公式

  $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+ \begin{cases}o\left(x^n\right), & (x \rightarrow 0) \\ \dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!} x^{n+1}, & (0<\theta<1)\end{cases}$$

• 常用 Maclaurin 公式：

  • $$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\frac{\mathrm{e}^{\theta x}}{(n+1)!} x^{n+1},(0<\theta<1) .$$

  • $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}+\frac{(-1)^n \cos \theta x}{(2 n+1)!} x^{2 n+1} .$$

  • $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n x^{2 n}}{(2 n)!}+\frac{(-1)^{n+1} \cos \theta x}{(2 n+2)!} x^{2 n+2} .$$

  • $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}+\frac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)(1+\theta x)^{n+1}} .$$

  • $$\begin{gathered} (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n \\ +\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n)(1+\theta x)^{\alpha-(n+1)}}{(n+1)!} x^{n+1} \end{gathered}$$

  • $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\frac{x^{n+1}}{(1-\theta x)^{n+2}},(|x|<1)$$

函数的单调性和极值

函数的单调性

• 单调的充要条件：设 $f \in C[a, b] \cap D(a, b)$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加 $\Leftrightarrow \forall x \in(a, b)$ 有 $f^{\prime}(x) \geq 0$.

• 严格单调的充要条件：设 $f \in C[a, b] \cap D(a, b)$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上严格单调增加 $\Leftrightarrow$（1）$\forall x \in(a, b), f^{\prime}(x) \geq 0$（2）在 $(a, b)$ 任意子区间上，$f^{\prime}(x)$ 不恒为 0.

函数的极值和最值

• 函数极值判别法：极值点一定包含在驻点和不可导点中

  • 第 I 判别法：设 $f \in C U\left(x_0\right)$，且 $f \in D \stackrel{\circ}{U}\left(x_0\right)$

    • 若在 $x_0$ 左侧，$f^{\prime}(x)<0$，在 $x_0$ 右侧，$f^{\prime}(x)>0$，则 $f\left(x_0\right)$ 为极小值；
    • 若在 $x_0$ 左侧，$f^{\prime}(x)>0$，在 $x_0$ 右侧，$f^{\prime}(x)<0$，则 $f\left(x_0\right)$ 为极大值；
    • 若在 $x_0$ 两侧 $f^{\prime}(x)$ 不变号，则 $f\left(x_0\right)$ 不是极值.

  • 第 II 判别法：设 $f$ 在 $x_0$ 二阶可导，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$，则

    • 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)<0$ 时，$f\left(x_0\right)$ 为极大值；
    • 当 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)>0$ 时，$f\left(x_0\right)$ 为极小值.

  • 第 III 判别法：设 $f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=\ldots=f^{(n-1)}\left(x_0\right)=0, f^{(n)}\left(x_0\right) \neq 0$，则

    • 当 $n$ 为奇数时，$f\left(x_0\right)$ 非极值；
    • 当 $n$ 为偶数时，若 $f^{(n)}\left(x_0\right)<0$，$f\left(x_0\right)$ 是极大值；
    • 当 $n$ 为偶数时，若 $f^{(n)}\left(x_0\right)>0$，$f\left(x_0\right)$ 是极小值.

• 函数最值求法：最值点一定在极值点和端点中

凸函数

• 凸函数的定义：

  • 定义 1：设函数 $f$ 在区间 $I$ 上定义，若 $\forall x_1, x_2 \in I$ 及 $\forall \lambda \in(0,1)$ 有

    $$f\left(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2\right) \leq \lambda f\left(x_1\right)+(1-\lambda) f\left(x_2\right)$$

    则称 $f(x)$ 是 $I$ 上的（下）凸函数.

  • 定义 2：函数 $f$ 为 $I$ 上的凸函数，当且仅当对 $\forall x_1<x_2<x_3 \in I$ 有

    $$\frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} \leq \frac{f\left(x_3\right)-f\left(x_2\right)}{x_3-x_2}$$

• 凸性判别法：

  • 第 I 充要条件：设 $f \in C[a, b] \cap D(a, b)$ ，则 $f$ 是 $[a, b]$ 的凸函数 $\Leftrightarrow f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内递增.

  • 第 II 充要条件：设 $f \in C[a, b]$，且在 $(a, b)$ 内二阶可导，则 $f$ 是 $[a, b]$ 的凸函数 $\Leftrightarrow f^{\prime \prime}(x) \geq 0$.

• 拐点的定义：设 $f \in C U\left(x_0\right)$，且在 $x_0$ 两侧凸性不同，则称 $x_0$ 为函数 $f$ 的拐点，$\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 称为曲线 $f(x)$ 的拐点.

  • 命题：函数的拐点在二阶导数为 0 和二阶不可导点中.

• 凸函数的性质：

  • 性质 1：设 $f$ 是区间 $I$ 的凸函数，则 $\forall x_0 \in I$，斜率函数 $k(x)=\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 在 $I \setminus \left\{x_0\right\}$ 递增.

  • 性质 2：设 $f$ 是区间 $I$ 的凸函数，则 $\forall x_0 \in I^{\circ}$，则 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$ 和 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，且 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right) \leq f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$.

  • 性质 3：设 $f$ 是 $[a, b]$ 的凸函数，则 $f \in C(a, b)$.

  • 性质 4：设 $f$ 是区间 $I$ 的凸函数，则 $\forall x_1<x_2 \in I^{\circ}$，有

    $$f_{+}^{\prime}\left(x_1\right) \leq \frac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1} \leq f_{-}^{\prime}\left(x_2\right)$$

• Jensen 不等式：设 $f$ 是区间 $I$ 的凸函数，则 $\forall x_k \in I, \lambda_k \in(0,1)$， $(k=1,2, \ldots, n)$. 若 $\displaystyle \sum_{k=1}^n \lambda_k=1$，则有

  $$f\left(\sum_{k=1}^n \lambda_k x_k\right) \leq \sum_{k=1}^n \lambda_k f\left(x_k\right)$$

函数作图

曲线的渐近线

• 垂直渐近线：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=\infty$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty, \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$），则 $x=x_0$ 为曲线 $y=f(x)$ 的垂直渐近线.

• 水平渐近线：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=b$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=b$），则 $y=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的水平渐近线.

• 斜渐近线：

  • 定义：直线 $L: y=a x+b(a \neq 0)$ 为曲线 $y=f(x)$ 的渐近线 $\displaystyle \Leftrightarrow \lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\(\text {或 } x \rightarrow \pm \infty)}}[f(x)-(a x+b)]=0 \text {. }$
  • 求解：

    $$\begin{aligned} b & =\lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-a x), \\ a & =\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x} . \end{aligned}$$

函数作图步骤

• 求定义域 $D_f$，考察 $f$ 的特性（奇偶性、周期性）等
• 求 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$
• 求 $f^{\prime}(x)=0$ 和 $f^{\prime \prime}(x)=0$ 的根，一阶、二阶不可导点
• 列表（考察 $f^{\prime}(x)$ 和 $f^{\prime \prime}(x)$ 的符号，确定单调性，极值点，极值和凸性、拐点）
• 求渐近线（水平、铅直和斜）
• 作图（合适单位长度，建立坐标系，先画渐近线）

不定积分

不定积分的概念和性质

• 原函数的定义：设 $f: I \rightarrow \mathbf{R}$，若 $\exists F$ 使 $F^{\prime}(x)=f(x)(\forall x \in I)$，则称 $F$ 是 $f$ 的一个原函数

• 不定积分的定义：设 $f(x)$ 存在原函数，则 $f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$

• 基本积分表：

  • $\displaystyle \int x^\alpha \mathrm{d} x=\frac{1}{\alpha+1} x^{\alpha+1}+C \quad (\alpha \neq-1)$
  • $\displaystyle \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C$
  • $\displaystyle \int a^x \mathrm{~d} x=\frac{a^x}{\ln a}+C \quad(0<a \neq 1)$
  • $\displaystyle \int \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^x+C$
  • $\displaystyle \int \sin x \mathrm{~d} x=-\cos x+C$
  • $\displaystyle \int \cos x \mathrm{~d} x=\sin x+C$
  • $\displaystyle \int \sec ^2 x \mathrm{~d} x=\tan x+C$
  • $\displaystyle \int \sec x \tan x \mathrm{~d} x=\sec x+C$
  • $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C \quad(a>0)$
  • $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C \quad(a \neq 0)$
  • $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C \quad(a \neq 0)$
  • $\displaystyle \int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2 \pm a^2}\right|+C$
  • $\displaystyle \int \sec x \mathrm{~d} x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

不定积分法

• 第一换元法（凑微分法）：设 $\displaystyle \int f(u) \mathrm{d} u=F(u)+C$，$\varphi(x)$ 可导，则

  $$\int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=F(\varphi(x))+C$$

  即

  $$\int f(\varphi(x)) \mathrm{d} \varphi(x)=F(\varphi(x))+C$$

  • 运算步骤：

    $$\int f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int f(\varphi(x)) \mathrm{d} \varphi(x) \xlongequal{u=\varphi(x)} \int f(u) \mathrm{d} u=F(u)+C \xlongequal{\text { 回代 }} F(\varphi(x))+C$$

• 第二换元法：设 $\displaystyle \int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t=F(t)+C, x=\varphi(t)$，且 $\varphi^{\prime}(t) \neq 0$，则

  $$\int f(x) \mathrm{d} x=F\left(\varphi^{-1}(x)\right)+C$$

  • 运算步骤：

    $$\int f(x) \mathrm{d} x \xlongequal{x=\varphi(t)} \int f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t \xlongequal{\text { 已知 }} F(t)+C \xlongequal{\text { 回代 }} F\left(\varphi^{-1}(x)\right)+C$$

• 分部积分法：若 $u^{\prime}(x), v^{\prime}(x)$ 连续，则

  $$\int u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x=u(x) v(x)-\int v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x$$

  即

  $$\int u(x) \mathrm{d} v(x)=u(x) v(x)-\int v(x) \mathrm{d} u(x)$$

  • 凑微分函数依次是：指数函数, 三角函数, 幂函数.

特殊初等函数的积分

• 有理函数的积分：假分式可以通过多项式除法化为多项式和真分式，而真分式可以分解为下两类简单分式的和：$\displaystyle \frac{A}{(x-a)^k} ~(k \in \mathbb{N})$ 和 $\displaystyle \frac{B x+D}{\left(x^2+p x+q\right)^k} ~\left(\Delta=p^2-4 q<0\right)$

• 三角函数有理式的积分：

  • $\sin x$ 和 $\cos x$ 的偶次有理式化为 $\tan x$ 的有理式
  • 通过万能变换，三角函数有理式积分可化为有理函数积分求得

• 无理函数的积分：被积函数中含根式

  • 常采用第二换元法去根式，化为有理函数积分

• 积不出的函数：原函数非初等的函数

  $$\mathrm{e}^{-x^2}, \frac{\sin x}{x}, \frac{\cos x}{x}, \frac{1}{\ln x}, \sin \left(x^2\right), \cos \left(x^2\right)$$

定积分

定积分的概念

• 定积分的定义：设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbf{R}$．任取 $[a, b]$ 分割 $T$ 及 $\forall \xi_{\mathrm{i}} \in\left[x_{i-1}, x_i\right]$，作和

  $$\sigma(T, \xi)=\sum_{i=1}^n f\left(\xi_i\right) \Delta x_i,$$

  若 $\displaystyle \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sigma(T, \xi)=I$ ，则称 $f$ 在 $[a, b]$ 可积，$I$ 称为 $f$ 在 $[a, b]$
  上的定积分，记为 $\displaystyle I=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$
  • 若存在两分割或同一分割下不同介点集，使积分和的极限不同，则 $f$ 在 $[a, b]$ 不可积

函数可积的条件

• 可积的必要条件：若 $f \in R[a, b]$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 有界

• 可积的充要条件：

  • Darboux 大和及小和的定义：设 $f$ 有界，$T: a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ 是 $[a, b]$ 的分割，

    $$M_i=\sup f\left(\left[x_{i-1}, x_i\right]\right), m_i=\inf f\left(\left[x_{i-1}, x_i\right]\right)$$

    称 $\displaystyle \overline{S}(T) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{i=1}^n M_i \Delta x_i$ 及 $\displaystyle \underline{S}(T) \stackrel{\text { def }}{=} \sum_{i=1}^n m_i \Delta x_i$ 分别为 $f$ 在分割 $T$ 下的 Darboux 大和及小和
  • 下积分的定义：$\displaystyle \underline{\int}_a^b f(x) \mathrm{d} x=\sup _T \underline{S}(T)$ 称为 $f$ 的下积分
  • Darboux 定理：设 $f$ 在 $[a, b]$ 有界，则

    $$\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \underline{S}(T)=\underline{\int}_a^b f(x) \mathrm{d} x, \quad \lim _{\|T\| \rightarrow 0} \overline{S}(T)=\overline{\int}_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

  • 第 I 充要条件：设 $f$ 在 $[a, b]$ 有界，则 $f \in R[a, b] \Leftrightarrow$

    $$\underline{\int}_a^b f(x) \mathrm{d} x= \overline{\int}_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

  • 第 II 充要条件：设 $f$ 在 $[a, b]$ 有界，则 $f \in R[a, b] \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists$ 分割 $T:$

    $$\overline{S}(T)-\underline{S}(T)=\sum_{i=1}^n \omega_i \Delta x_i<\varepsilon$$

  • 第 III 充要条件： 设 $f$ 在 $[a, b]$ 有界，则 $f \in R[a, b] \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \forall \sigma>0, \exists$ 分割 $T:$

    $$\sum_{i \in \Lambda} \Delta x_i<\varepsilon$$

    其中 $\Lambda=\left\{i \mid \omega_i \geq \sigma\right\}$.

• 可积的充分条件：

  • 定理：若 $f \in C[a, b]$，则 $f \in R[a, b]$
  • 定理：若 $f$ 在 $[a, b]$ 有界，且仅有限个间断点，则 $f \in R[a, b]$
  • 定理：若 $f$ 在 $[a, b]$ 单调，则 $f \in R[a, b]$

定积分的性质

• 绝对可积：若 $|f| \in R[a, b]$，则称 $f$ 在 $[a, b]$ 上绝对可积

  • 结论：若 $f \in R[a, b]$，则 $|f| \in R[a, b]$，且

    $$\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$$

• 积分第一中值定理：设 $f \in C[a, b], g \in R[a, b]$ 且不变号，则 $\exists \xi \in[a, b]$ 使

  $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$$

  • 推论：设 $f \in C[a, b]$，则 $\exists \xi \in[a, b]$ 使得

    $$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a)$$

• 变限积分函数：

  • 定义：若 $f \in R[a, b]$，称

    $$F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t, ~x \in[a, b]$$

    为 $f$ 在 $[a, b]$ 上的变上限积分
  • 原函数存在定理：若 $f \in C[a, b]$，则 $f$ 有原函数 $F(x)$，且

    $$F(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t+C$$

微积分基本定理

• Newton－Leibniz 公式：设 $f \in C[a, b]$，且 $F^{\prime}(x)=f(x)$，则

  $$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_a ^b=F(b)-F(a)$$

定积分的计算

• 换元积分法：设 $f \in C[a, b], x=\varphi(t) \in C^{(1)}[\alpha, \beta]$（或 $[\beta, \alpha]$），且 $\varphi(\alpha)=a, \varphi(\beta)=b$，则

  $$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi^{\prime}(t) \mathrm{d} t$$

  • 命题：设 $f \in C[-a, a]$，则

    $$\int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x= \begin{cases}0, & f(x) \text { 为奇函数 } \\ 2 \displaystyle \int_0^a f(x) \mathrm{d} x, & f(x) \text { 为偶函数 }\end{cases}$$

  • 命题：设 $f$ 为连续函数，则

    $$\int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$$

• 分部积分法：若 $u^{\prime}(x), v^{\prime}(x) \in C[a, b]$, 则

  $$\int_a^b u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\left.u(x) v(x)\right|_a ^b-\int_a^b u^{\prime}(x) v(x) \mathrm{d} x$$

  • Wallis 公式：

    $$I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{~d} x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x \mathrm{~d} x=\begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \dfrac{\pi}{2}, & n \text { 为偶数 } \\ \dfrac{(n-1)!!}{n!!}, & n \text { 为奇数 } \end{cases}(n \in \mathbb{N})$$

• 积分余项 Taylor 公式：设 $f \in \mathrm{C}^{(n+1)} U(a)$，则对 $\forall x \in U(a)$，有

  $$f(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{1}{n!} \int_a^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n \mathrm{~d} t$$

积分第二中值定理和 Riemann 引理

• 积分第二中值定理：设 $f \in R[a, b]$，则有

  • 若 $g$ 在 $[a, b]$ 单减且非负，则 $\exists \xi \in[a, b]$ 使

    $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x$$

  • 若 $g$ 在 $[a, b]$ 单增且非负，则 $\exists \xi \in[a, b]$ 使

    $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(b) \int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x$$

  • 若 $g$ 在 $[a, b]$ 单调，则 $\exists \xi \in[a, b]$ 使

    $$\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x$$

• Riemann 引理：设 $f \in R[a, b]$，则有

  $$\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin p x \mathrm{~d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$$

定积分的几何应用

• 元素法的步骤：

  • 在 $[a, b]$ 上取长度为 $\Delta x=\mathrm{d} x$ 子区间 $[x, x+\mathrm{d} x]$
  • 写出 $[x, x+\mathrm{d} x]$ 上部分量 $\Delta F \approx \mathrm{~d} F=f(x) \mathrm{d} x$
  • 结论 $\displaystyle F=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$

• 平面图形面积：

  • 参数方程：若 $y=f(x) \geq 0$ 的参数方程为 $x=x(t), y=y(t)$，且 $x(\alpha)=a, x(\beta)=b$，则曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围面积

    $$A=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \xlongequal{x=x(t)} \int_\alpha^\beta y(t) x^{\prime}(t) \mathrm{d} t$$

  • 极坐标方程：曲线 $r=r(\theta)(\theta \in[\alpha, \beta])$ 与射线 $\theta=\alpha$ 及 $\theta=\beta$ 所围面积

    $$A=\frac{1}{2} \int_\alpha^\beta r^2(\theta) \mathrm{d} \theta$$

• 平行截面面积已知的立体体积：

  • 薄片法：设立体 $\Omega$ 夹于平面 $x=a, x=b$ 间，过点 $(x, 0)$且垂直 $x$ 轴平面截 $\Omega$ 的截面面积 $A(x)$，则 $\Omega$ 的体积

    $$V=\int_a^b A(x) \mathrm{d} x$$

    • 曲线 $y=f(x)$ 与 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $x$ 轴旋转

      $$V_x=\pi \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x$$

  • 薄壳法：曲线 $y=f(x)$ 与 $x=a, x=b$ 及 $x$ 轴所围图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积

    $$V=2 \pi \int_a^b x y \mathrm{~d} x=2 \pi \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x$$

• 平面曲线弧长：

  • 直角坐标：设 $l: y=f(x) \in C^{(1)}[a, b]$，则

    $$s(l)=\int_a^b \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x \quad (a<b)$$

  • 参数方程：设 $l: x=x(t), y=y(t) \in \mathrm{C}^{(1)}[\alpha, \beta]$，则

    $$s(l)=\int_\alpha^\beta \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \quad (\alpha<\beta)$$

  • 极坐标方程：若 $l: r=r(\theta) \in \mathrm{C}^{(1)}[\alpha, \beta]$，则

    $$s(l)=\int_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\theta)+r^{\prime 2}(\theta)} \mathrm{d} \theta \quad (\alpha<\beta)$$

• 旋转曲面侧面积：曲线 $y=f(x) \geq 0(a \leq x \leq b)$ 绕 $x$ 轴旋转所得曲面的侧面积

  $$S=2 \pi \int_a^b f(x) \sqrt{1+f^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$$

广义积分

无穷积分

• 无穷积分的定义：

  • 设 $f:[a,+\infty) \rightarrow \mathbf{R}$，且 $\forall A>a, f \in R[a, A]$，称形式积分 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 为 $f$ 在 $[a,+\infty)$ 上的无穷积分. 若

    $$\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d} x=I$$

    则称 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且其值定义为

    $$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{A \rightarrow+\infty} \int_a^A f(x) \mathrm{d} x=I.$$

  • 设 $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$，若 $\exists a \in \mathbf{R}$，使 $\displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \mathrm{d} x$ 和 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$同时独立收敛，则称 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且其值为

    $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^a f(x) \mathrm{d} x+\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .$$

• N－L 公式：若 $f \in C[a,+\infty)$，且 $F^{\prime}(x)=f(x)$，则

  $$\int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\left.F(x)\right|_a ^{+\infty}=\lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)-F(a)$$

• 绝对与条件收敛：

  • 定义：
    • 若 $\displaystyle \int_a^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛，则称 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛
    • 若 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\displaystyle \int_a^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 发散，则称 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 条件收敛
  • 定理：若 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • 与收敛/平方收敛的关系：绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛，反之不然；平方收敛与收敛、绝对收敛都无关

无穷积分敛散性判别

• Cauchy 准则：$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\Leftrightarrow$

  $$\forall \varepsilon>0, \exists A>a, \forall A^{\prime}, A^{\prime \prime}>A:\left|\int_{A^{\prime}}^{A^{\prime \prime}} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon$$

• 收敛原理：设 $f(x) \geq 0$ ，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\Leftrightarrow$

  $$F(A)=\int_a^A f(x) \mathrm{d} x \text { 在 }[a,+\infty) \text { 有上界 }$$

• 比较判别法：设 $g(x) \geq f(x) \geq 0$，则

  • $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散

• 极限形式：设 $f(x) \geq 0, g(x)>0$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{g(x)}=l$ ，则

  • 当 $0<l<+\infty$ 时，$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 同敛散
  • 当 $l=0$ 时，$\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • 当 $l=+\infty$ 时，$\displaystyle \int_a^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 发散 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散

• $p$－判别法：设 $f(x) \geq 0$，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)=l$，则

  • 当 $0 \leq l<+\infty$，且 $p>1$ 时，$\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • 当 $0<l \leq+\infty$，且 $p \leq 1$ 时， $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散

• A－D 判别法：设 $f, g$ 满足下列两组条件之一，则 $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收敛.

  • Abel: $\displaystyle \int_a^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 单调有界.
  • Dirichlet: $\displaystyle F(A)=\int_a^A f(x) \mathrm{d} x$ 在 $[a,+\infty)$ 有界，$g(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 单调且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$.

瑕积分

• 瑕积分的定义：

  • 设 $f:[a, b) \rightarrow \mathbf{R}$，且 $b$ 是 $f$ 的瑕点. 若 $\forall \varepsilon>0, f \in R [a, b-\varepsilon]$，称形式积分 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 为 $f$ 在 $[a, b)$ 上的瑕积分. 若

    $$\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x=I$$

    则称 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且其值定义为

    $$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \stackrel{\text { def }}{=} \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x=I.$$

  • 当 $c \in(a, b)$ 为 $f$ 的瑕点时，定义

    $$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \stackrel{\text { def }}{=} \int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x$$

    当且仅当右端同时独立收敛时，称左端收敛.

• 绝对与条件收敛：下设 $b$ 为瑕点

  • 定义：
    • 若 $\displaystyle \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$ 收敛，则称 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛
    • 若 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，但 $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$ 发散，则称 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 条件收敛
  • 定理：若 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • 与收敛/平方收敛的关系：平方收敛 $\Rightarrow$ 绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛，反之不然

瑕积分敛散性判别

• Cauchy 准则：设 $b$ 为瑕点，则 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\Leftrightarrow$

  $$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x^{\prime}, x^{\prime \prime} \in(b-\delta, b):\left|\int_{x^{\prime}}^{x^{\prime \prime}} f(x) \mathrm{d} x\right|<\varepsilon$$

• 收敛原理：设 $f(x) \geq 0$，则 $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\Leftrightarrow$

  $$F(A)=\int_a^A f(x) \mathrm{d} x \text { 在 }[a, b) \text { 有上界 }$$

• 比较判别法：设 $g(x) \geq f(x) \geq 0$，则

  • $\displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 发散

• 极限形式：设 $f(x) \geq 0, g(x)>0$，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} \frac{f(x)}{g(x)}=l$，则

  • 当 $0<l<+\infty$ 时，$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 同敛散
  • 当 $l=0$ 时，$\displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 收敛 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • 当 $l=+\infty$ 时，$\displaystyle \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 发散 $\displaystyle \Rightarrow \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散

• $p$－判别法：设 $f(x) \geq 0$，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}}(b-x)^p f(x)=l$，则

  • 当 $0 \leq l<+\infty$，且 $p<1$ 时，$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛
  • 当 $0<l \leq+\infty$，且 $p \geq 1$ 时，$\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 发散

• A－D 判别法：设 $f, g$ 满足下列两组条件之一，则 $\displaystyle \int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收敛

  • Abel: $\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，$g$ 在 $[a, b)$ 单调有界
  • Dirichlet: $\displaystyle F(A)=\int_a^A f(x) \mathrm{d} x$ 在 $[a, b)$ 有界，$g$ 在 $[a, b)$ 单调且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} g(x)=0$

数项级数

数项级数概念和性质

• 数项级数的定义：设 $a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots$ 是一个数列，形式和

  $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$$

  称为无穷级数.

  $$S_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+a_2+\cdots+a_n$$

  称为级数的前 $n$ 项部分和.
  若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=S$，则称级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且收敛于 $S$，记为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n=S$.

• Cauchy 收敛准则：

  $$\begin{gathered} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 收敛 } \Leftrightarrow \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbf{N}, \forall n>N, \forall p \in \mathbf{N}: \\ \left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k\right|=\left|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}\right|<\varepsilon \end{gathered}$$

• 级数收敛的必要条件：若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则

  $$\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$$

数列的上、下极限

• 上极限的定义：若 $\left\{x_n\right\}$ 有上界，则称 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \beta_n=\lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{k \geq n}\left\{x_k\right\}$ 为 $\left\{x_n\right\}$ 的上极限，记为 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n$ ，若 $\left\{x_n\right\}$ 无上界，则规定 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=+\infty$

正项级数

• 正项级数的定义：若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 满足 $a_n \geq 0$，则称之为正项级数

• 收敛原理：设 $a_n \geq 0$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛 $\Leftrightarrow$ 部分和 $\left\{S_n\right\}$ 有上界

正项级数敛散性判别法

• 比较判别法：

  • 定理：若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均为正项级数，且

    $$a_n \leq b_n$$

    则有

    $$\begin{gathered} \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { 收敛 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 收敛 } \\ \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 发散 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { 发散 } \end{gathered}$$

  • 极限形式：若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均为正项级数，且

    $$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}=l,$$

    则有
    • 当 $0<l<+\infty$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 同敛散
    • 当 $l=0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛 $\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
    • 当 $l=+\infty$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散 $\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散
  • 比较判别法二：若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均为正项级数，且

    $$\frac{a_{n+1}}{a_n} \leq \frac{b_{n+1}}{b_n},$$

    则有

    $$\begin{aligned} & \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { 收敛 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 收敛 } \\ & \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text { 发散 } \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n \text { 发散 } \end{aligned}$$

• Cauchy 根值判别法：若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 满足 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n}=\rho$ ，则

  • 当 $0 \leq \rho<1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
  • 当 $\rho>1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散

• 比值判别法：设 $a_n>0$，则

  • 当 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho<1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛
  • 当 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho>1$ 时，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散

• 积分判别法：若非负函数 $f$ 在 $[1,+\infty)$ 上单减，则无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 与无穷积分 $\displaystyle \int_1^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 同敛散

• Raabe 判别法：

  • 设 $a_n>0$ ，则
    • 若 $\exists r>1, N \in \mathbf{N}$，使 $\displaystyle \forall n>N: n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) \geq r$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫
    • 若 $\exists N \in \mathbf{N}$ ，使 $\displaystyle \forall n>N: n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) \leq 1$，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散
  • 极限形式：设 $a_n>0$，则
    • 若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=r>1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，
    • 若 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=r<1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散.

任意项级数

• 绝对与条件收敛：

  • 定义：
    • 若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 收敛，则称 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛
    • 若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right|$ 发散，而 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则称 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛
  • 命题：若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 必收敛

• A-D 判别法：设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$，满足下两组条件之一，则 $\sum_{n=1}^\infty a_n b_n$ 收敛.

  • Abel: $\left\{a_n\right\}$ 单调有界，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛；
  • Dirichlet: $\left\{a_n\right\}$ 单调趋于 $0$，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 部分和有界.

交错级数收敛性判别法

• 交错级数的定义：正负项相间的级数称为交错级数，其形式为

  $$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \text { 或 } \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n \quad \left(\text {其中 } a_n>0\right)$$

• Leibniz 判别法：若交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$（其中 $a_n>0$）满足 (1) $a_{n+1} \leq a_n$，(2) $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n$ 收敛且

  $$0 \leq \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_n \leq a_1$$

函数列与函数项级数

一致收敛性

• 基本定义：

  • 定义 1：对函数列 $\left\{f_n(x)\right\}, x \in X$. 若 $\left\{f_n\left(x_0\right)\right\}$ 收敛，则称 $x_0$ 为收敛点，否则称之为发散点. 收敛点的全体 $D$ 称为收敛域.
  • 定义 2：设 $\left\{f_n(x)\right\}$ 的收敛域为 $D$，且 $\forall x \in D$：

    $$\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=f(x),$$

    则称 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上 （点态）收敛，$f(x)$ 称为极限函数，记为

    $$f_n(x) \xrightarrow{D} f(x)$$

    • $\boldsymbol{\varepsilon}$－$N$ 叙述：$f_n(x) \xrightarrow{D} f(x)$ 即

      $$\forall x \in D, \forall \varepsilon>0, \exists N=N(x, \varepsilon) \in \mathbb{N}, \forall n>N:\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon .$$

  • 定义 3：设 $\left\{u_n(x)\right\}$ 为函数列，称

    $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+\cdots+u_n(x)+\cdots$$

    为函数项级数. $\displaystyle S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ 称为其部分和函数. 若 $\displaystyle S_n(x) \xrightarrow{D} S(x)$，则称 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上（点态）收敛. $S(x)$ 称为和函数，记为

    $$\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=S(x)$$

• 一致收敛的定义：设 $\left\{f_n(x)\right\}$ 为函数列，若存在 $f(x)$ 使

  $$\forall \varepsilon>0, \exists N=N(\varepsilon) \in \mathbb{N}, \forall n>N, \forall x \in D: \quad\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon$$

  则称 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f(x)$，记为

  $$f_n(x) \stackrel{D}{\rightrightarrows} f(x)$$

• 一致收敛的判别：

  • Cauchy 一致收敛准则：$\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛 $\Leftrightarrow$

    $$\begin{gathered} \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N, \forall p \in \mathbb{N}, \forall x \in D: \\ \left|f_{n+p}(x)-f_n(x)\right|<\varepsilon . \end{gathered}$$

  • 结论：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛，则有

    $$u_n(x) \stackrel{D}{\rightrightarrows} 0$$

  • 确界极限：

    $$f_n(x) \stackrel{D}{\rightrightarrows} f(x) \Leftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in D}\left|f_n(x)-f(x)\right|=0$$

  • 点列极限：

    $$f_n(x) \stackrel{D}{\rightrightarrows} f(x) \Leftrightarrow \forall\left\{x_n\right\} \subset D: \lim _{n \rightarrow \infty}\left|f_n\left(x_n\right)-f\left(x_n\right)\right|=0$$

  • 命题：设 $u_n(x) \in C[a, b]$，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $(a, b)$ 内一致收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(a), \sum_{n=1}^{\infty} u_n(b)$ 收敛，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.

• 内闭一致收敛的定义：设 $D$ 为区间，若对 $\forall$ 闭区间 $I \subset D,\left\{f_n(x)\right\}$ 总在 $I$上一致收敛，则称 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上内闭一致收敛

一致收敛性判别法

• Weierstrass $M$－判别法：设 $\forall n \in \mathbf{N}, \forall x \in D$：$\left|u_n(x)\right| \leq M_n$，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_n$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛

• A－D 判别法：设 $\left\{u_n(x)\right\},\left\{v_n(x)\right\}$ 满足下列两组条件之一，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) v_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛

  • Abel：$\forall x \in D,\left\{v_n(x)\right\}$ 单调，且在 $D$ 上一致有界，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛；
  • Dirichlet：$\forall x \in D,\left\{v_n(x)\right\}$ 单调，且在 $D$ 上一致趋于 0，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的 $\left\{S_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致有界.

一致收敛函数列、函数项级数的性质

• 连续性定理：设 $f_n(x) \in C(D)$，且 $f_n(x) \stackrel{D}{\rightrightarrows} f(x)$，则 $f(x) \in C(D)$.

  • 等价形式：$\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0}\left(\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\lim _{x \rightarrow x_0} f_n(x)\right)$
  • 函数项级数：若 $u_n(x) \in C(D)$，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 一致收敛（或内闭一致收敛）于 $S(x)$，则 $S(x) \in C(D)$.

• 积分号下取极限定理：设 $f_n(x) \in C[a, b]$，且 $f_n(x) \xrightarrow{[a, b]} f(x)$，则

  $$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left(\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)\right) \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$$

  • 逐项可积性：设 $u_n(x) \in C[a, b]$，且 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$在 $[a, b]$ 上一致收敛，则

    $$\int_a^b\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\right) \mathrm{d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \int_a^b u_n(x) \mathrm{d} x .$$

• 微分号下取极限定理：设 $f_n(x) \xrightarrow{[a, b]} f(x)$，又 $f_n^{\prime}(x) \in C[a, b]$，且 $\left\{f_n^{\prime}(x)\right\}$ 一致收敛，则 $f^{\prime}(x) \in C[a, b]$

  $$\lim _{n \rightarrow \infty} f_n^{\prime}(x)=\left(\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)\right)^{\prime}=f^{\prime}(x) .$$

  • 逐项可微性：设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 满足：

    • $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)=S(x)$；
    • $\displaystyle u_n{ }^{\prime}(x) \in C[a, b]$；
    • $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.

    则 $S^{\prime}(x) \in C[a, b]$

    $$S^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} u_n^{\prime}(x) .$$

小结

• 一致收敛判别法：

  • 定义法：

    $$\forall x \in D:\left|f_n(x)-f(x)\right| \leq a_n \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$$

  • Cauchy 一致收敛准则：

    $$\forall n>N, \forall p \in \mathbb{N}, \forall x \in D:\left|f_{n+p}(x)-f_n(x)\right|<\varepsilon$$

  • 确界极限：

    $$\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{x \in D} \left|f_n(x)-f(x)\right|=0$$

  • 命题：设 $f_n(x) \in C[a, b]$，且 $f_n(x)$ 在 $(a, b)$ 内一致收敛，则 $f_n(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.
  • Weierstrass M－判别法（函数项级数）：$\left|u_n(x)\right| \leq M_n$，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} M_n$ 收敛 $\displaystyle \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 一致收敛
  • A－D 判别法（函数项级数）
  • Dini 定理

• 不一致收敛判别法：

  • 结论：不点态收敛 $\Rightarrow$ 不一致收敛
  • Cauchy 不一致收敛准则：

    $$\exists n \geq N, \exists p \in \mathbb{N}, \exists x_n \in D:\left|f_{n+p}\left(x_n\right)-f_n\left(x_n\right)\right| \geq \varepsilon_0$$

  • 点列极限：

    $$\exists x_n \in D:\left|f_n\left(x_n\right)-f\left(x_n\right)\right| \nrightarrow 0(n \rightarrow \infty)$$

  • 命题：设 $u_n(x) \in C[a, b)$，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(a)$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $(a, b)$ 内不一致收敛.
  • 一致收敛的必要条件：

    $$u_n(x) \not\rightrightarrows 0 \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) \text { 不一致收敛 }$$

  • 连续性定理逆否命题：

    $$f_n(x) \in C(D) \text {, 且 } f(x) \notin C(D) \Rightarrow f_n(x) \stackrel{D}{\not\rightrightarrows} f(x)$$

幂级数

幂级数的性质

• 幂级数的定义：形如

  $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n=a_0+a_1\left(x-x_0\right)+\cdots+a_n\left(x-x_0\right)^n+\cdots$$

  的函数项级数称为幂级数，其中 $x_0 \in \mathbf{R}$，$a_i$ 称为系数.

  • 令 $t=x-x_0$，变为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$

• Cauchy-Hadamard 定理：设 $\displaystyle \rho=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|}$，则

  • 当 $0<\rho<+\infty$ 时，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $\displaystyle \left(-\frac{1}{\rho}, \frac{1}{\rho}\right)$ 内绝对收敛，在 $\displaystyle |x|>\frac{1}{\rho}$ 发散；
  • 当 $\rho=0$ 时，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内绝对收敛；
  • 当 $\rho=+\infty$ 时，$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 仅在 $x=0$ 处收敛.

  即收敛半径 $\displaystyle r=\frac{1}{\rho}$，收敛区间：$(-r, r)$

  • 比值法：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_{n+1}\right|}{\left|a_n\right|}$ 存在广义极限，则 $\displaystyle r=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left|a_n\right|}{\left|a_{n+1}\right|}$
  • 收敛域求法：先用比值法或根值法求收敛半径，再考察端点处的敛散性.

• 广义幂级数：形式 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n[g(x)]^n$

  • 收敛域求法：令 $t=g(x)$，变为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n$. 若其收敛区间为 $(-r, r)$，则原级数的收敛域包含 $\{x||g(x)|<r\}$.

• Abel 定理：

  • Abel 第 I 定理：设 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x_1(\neq 0)$ 收敛，则 $|x|<\left|x_1\right|$ 时绝对收敛；若 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $x_2$ 发散，则 $|x|>\left|x_2\right|$ 时发散.
  • Abel 第 II 定理：设 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 收半径为 $r(>0)$ ，则它在 $(-r, r)$ 内闭一致收敛；若 $x=r$ 时收敛，则它在 $[0, r]$一致收敛，从而在 $(-r, r]$ 内闭一致收敛.
  • Abel 第 III 定理：设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, x \in(-r, r]$，则 $f(x)$ 在 $x=r$ 处左连续，即

    $$\lim _{x \rightarrow r^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=\sum_{n=0}^{\infty} a_n r^n .$$

• 分析性质：

  • 定理：幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 与其导数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 和积分级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$ 的收敛半径相等.
  • 定理：设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n, x \in(-r, r)$，则
    • $f(x) \in C(-r, r)$；
    • $f(x) \in D(-r, r)$，且可逐项求导，即 $\forall x \in(-r, r)$：

      $$f^{\prime}(x)=\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n x^n\right)^{\prime}=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$$

    • 可逐项积分，即 $\forall x \in(-r, r)$：

      $$\int_0^x f(t) \mathrm{d} t=\int_0^x\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n\right) \mathrm{d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x a_n t^n \mathrm{~d} t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1}$$

函数的幂级数展开

• Taylor 级数：

  • 定义：设 $f(x)$ 在 $x_0$ 无穷次可导，则称

    $$f(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n$$

    为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的 Taylor 级数. $x_0=0$ 时称为 Maclaurin 级数.
  • 定理1：设 $f \in C^{(\infty)}(I)$，其中 $I=\left(x_0-r, x_0+r\right)$，则在 $I$

    $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}( \left.x-x_0\right)^n \quad \Longleftrightarrow \quad \lim _{n \rightarrow \infty} R_n(x)=0$$

  • 定理2：设 $f \in C^{(\infty)}(I)$，且 $\forall n \in \mathbf{N}, \forall x \in I:\left|f^{(n)}(x)\right| \leq M$，则

    $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n \quad(\forall x \in I)$$

  • 定理3（唯一性）：若

    $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\left(x-x_0\right)^n, \quad x \in\left(x_0-r, x_0+r\right)$$

    此时称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可展开为幂级数，则必有

    $$a_n=\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!} .$$

• 常用初等函数的幂级数：

  • $$\mathrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \quad(x \in \mathbf{R})$$

  • $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}+\cdots \quad(x \in \mathbf{R})$$

  • $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}+\cdots \quad(x \in \mathbf{R})$$

  • $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots \quad(-1<x \leq 1)$$

  • $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-n+1)}{n!} x^n+\cdots \quad (-1<x<1)$$

    特别地，

    $$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} x^n \quad(-1<x<1)$$

    $$\frac{1}{\sqrt{1-x}}=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} x^n \quad(-1 \leq x<1)$$

• 函数的幂级数展开方法：

  • 直接法：先求 $f^{(n)}\left(x_0\right)$，再利用 Taylor 公式
  • 间接法：利用已知的幂级数展开式，再结合变量代换、逐项可导、逐项可积性

Fourier 级数

Fourier 级数

• 三角函数系：函数集合 $\{1, \cos x, \sin x, \cdots, \cos n x, \sin n x, \cdots\}$

  • 特点：正交性

    $$\int_{-\pi}^\pi \cos m x \cos n x \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{ll}0 & m \neq n \\ \pi & m=n \neq 0 \\ 2 \pi & m=n=0\end{array}(m, n=1,2, \cdots)\right.$$

    $$\int_{-\pi}^\pi \sin m x \sin n x \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{ll}0 & m \neq n \\ \pi & m=n\end{array} \quad(m, n=1,2, \cdots)\right.$$

    $$\int_{-\pi}^\pi \sin m x \cos n x \mathrm{~d} x=0 \quad(m=1,2, \cdots ; n=0,1, \cdots)$$

• Fourier 级数：

  • Fourier 系数：设在 $[-\pi, \pi]$ 上函数 $f(x)$ 可展开为三角级数，即

    $$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$$

    则系数

    $$\left\{\begin{aligned} a_n & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos n x \mathrm{~d} x, \quad n=0,1,2, \cdots, \\ b_n & =\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, \quad n=1,2, \cdots. \end{aligned}\right.$$

  • 可积与绝对可积：函数 $f$ 满足下两条件之一：
    • $f \in R[-\pi, \pi]$
    • 瑕积分 $\displaystyle \int_{-\pi}^\pi f(x) \mathrm{d} x$ 绝对收敛
  • Fourier 级数的定义：设 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，且在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，以 $f$ 的 Fourier 系数 $a_n, b_n$ 为系数的三角级数称为 $f(x)$ 的 Fourier 级数，记为

    $$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$$

• 正弦和余弦级数：

  • 正弦级数：设 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，且为奇函数，则其 Fourier 系数中 $a_n=0$，

    $$b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x$$

    其 Fourier 级数 $\displaystyle f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ 称为正弦级数.
  • 约定：若 $f$ 仅在 $[0, \pi]($ 或 $[-\pi, 0])$ 上可积与绝对可积，对 $f$ 作奇延拓后所得函数 $f_1$ 的 Fourier（正弦）级数也称为 $f$ 的正弦级数，此时

    $$b_n=\frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \sin n x \mathrm{~d} x$$

Fourier 级数的收敛性

• Fourier 级数收敛性判别法：
  • 定理：定理 设 $f$ 以 $2 \pi$ 为周期，在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，
    且满足下面两条件之一，则 $f$ 的 Fourier 级数在 $x$ 处收敛于

    $$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$$

    • （Dirichlet－Jordan）$f$ 在 $U(x, \delta]$ 上分段单调或为分段单调函数之和；
    • （Dini－Lipschitz）$f$ 在 $x$ 处满足指数为 $\alpha \in(0,1]$ 的 Hölder 条件，即 $|f(x \pm u)-f(x \pm 0)| \leq L u^\alpha$
  • 推论：设 $f$ 以 $2 \pi$ 为周期，在 $[-\pi, \pi]$ 上至多有限个第一类间断点，且仅有有限个严格极值点，则

    $$\begin{aligned} f(x) & \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \\ & =\left\{\begin{array}{cc} f(x), & x \text { 为连续点, } \\ \dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}, & x \text { 为间断点, } \\ \dfrac{f(-\pi+0)+f(\pi-0)}{2}, & x= \pm \pi . \end{array}\right. \end{aligned}$$

Fourier 级数的性质

• Fourier 级数的分析性质：
  • 定理（逐项积分）：设 $f$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上可积与绝对可积，又

    $$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$$

    则 $\forall x \in[-\pi, \pi]$ 有

    $$\begin{aligned} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t & =\frac{a_0}{2} x+\sum_{n=1}^{\infty} \int_0^x\left(a_n \cos n t+b_n \sin n t\right) \mathrm{d} t \\ & =\frac{a_0}{2} x+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{n} \sin n x-\frac{b_n}{n} \cos n x+\frac{b_n}{n}\right) \end{aligned}$$

  • 定理（逐项微分）：设 $f \in D[-\pi, \pi]$ ，且 $f(-\pi)=f(\pi)$ ，若 $f^{\prime}(x)$ 可积与绝对可积，则

    $$\begin{aligned} f^{\prime}(x) & \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) \\ & =\sum_{n=1}^{\infty}\left(n b_n \cos n x-n a_n \sin n x\right) \end{aligned}$$

多元函数的极限与连续

$\mathbf{R}^2$ 中的点集

• $\mathbf{R}^2$ 中点列的极限：

  • 定义：设 $\left\{\boldsymbol{x}_k\right\} \subset \mathbf{R}^2$，其中 $\boldsymbol{x}_k=\left(x_k, y_k\right), k \in \mathbb{N}$，又 $\boldsymbol{x}_0=\left(x_0, y_0\right)$. 若 $\forall \varepsilon>0, \exists K \in \mathbf{N}, \forall k>K$ ：

    $$d\left(\boldsymbol{x}_k, \boldsymbol{x}_0\right)<\varepsilon$$

    则称 $\left\{\boldsymbol{x}_k\right\}$ 收敛于 $\boldsymbol{x}_0$，记为 $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} \boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{x}_0$.

• 平面点集：

  • 内点、外点、边界点和聚点：设 $P_0 \in \mathbf{R}^2, E \subset \mathbf{R}^2$，
    • 内点：若 $\exists \delta>0$，使得 $U\left(P_0, \delta\right) \subset E$，则称 $P_0$ 是 $E$ 的内点. $E$ 全体内点的集合称为 $E$ 的内部（核），记为 $E^{\circ}$.
    • 外点：若 $\exists \delta>0$，使 $U\left(P_0, \delta\right) \cap E=\varnothing$ ，则称 $P_0$ 是 $E$ 的外点. $E$ 全体外点的集合称为 $E$ 的外部，记为 $\left(E^c\right)^{\circ}$.
    • 边界点：若 $\forall \delta>0, U\left(P_0, \delta\right) \cap E \neq \varnothing$ 且 $U\left(P_0, \delta\right) \cap E^c \neq \varnothing$，则称 $P_0$ 是 $E$ 的边界点，边界点的集合称为边界，记为 $\partial E$.
    • 聚点：若 $\forall \delta>0, \stackrel{\circ}{U}\left(P_0, \delta\right) \cap E \neq \varnothing$ ，则称 $P_0$ 是 $E$ 的聚点. 聚点的集合称为导集，记为 $E^{\prime}$.
      • 命题：$P_0$ 是 $E$ 的聚点 $\displaystyle \Leftrightarrow \exists\left\{P_n\right\} \subset E, P_n \neq P_0: \lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0$
    • 孤立点：若 $\exists \delta>0, U\left(P_0, \delta\right) \cap E=\left\{P_0\right\}$，则称 $P_0$ 是 $E$ 的孤立点.
  • 开集和闭集：设 $E \subset \mathbf{R}^2$
    • 开集：若 $E$ 中的点都是 $E$ 的内点，即 $E=E^{\circ}$，则称 $E$ 为开集.
    • 闭集：若 $E$ 包含 $E$ 的所有聚点，即 $E^{\prime} \subset E$，则称 $E$ 为闭集. $E$ 与其导集 $E^{\prime}$ 的并集称 $E$ 的闭包，记为 $\bar{E}$
    • 定理：下面 4 条等价
      • $\boldsymbol{E}$ 为闭集
      • $E=\bar{E}$
      • $\forall\left\{P_n\right\} \subset E$，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} P_n=P_0$，则有 $P_0 \in E$
      • $\boldsymbol{E}^c$ 为开集，即若 $P \notin E$ ，则 $\exists \boldsymbol{\delta}>0$ ，使 $U(P, \delta) \cap E=\varnothing$

• 基本定理：

  • Cauchy 准则：设 $\left\{P_n\right\} \subset \mathbf{R}^2$，则 $\left\{P_n\right\}$ 收敛$\Leftrightarrow\left\{P_n\right\}$ 为 Cauchy 列，即

    $$\forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n>N, \forall p \in \mathbb{N}: d\left(P_{n+p}, P_n\right)<\varepsilon$$

多元函数的极限

• 二重极限与累次极限：设
  • 二重极限：$D \subset \mathbf{R}^2$，$f$ 在 $D$ 上有定义，$P_0$ 为 $D$ 的聚点. 若 $\exists A \in \mathbf{R}$ 使得 $\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P \in \stackrel{\circ}{U}\left(P_0, \delta\right) \cap D:$

    $$|f(P)-A|<\varepsilon$$

    则称在 $D$ 上 $P \rightarrow P_0$ 时 $f(P)$ 的二重极限为 $A$，记为

    $$\lim _{P \rightarrow P_0} f(P)=A$$

  • 累次极限：设 $I \times J \subset \mathbf{R}^2$，$x_0, y_0$ 分别为 $I, J$ 的聚点. 固定 $x \in I \left(x \neq x_0\right)$. 若存在首次极限 $\displaystyle \varphi(x)=\lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)$，且

    $$\lim _{x \rightarrow x_0} \varphi(x)=A$$

    则称 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处先 $y$ 后 $x$ 的累次（二次）极限为 $A$，记为

    $$\lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)=A$$

  • 定理：设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_0, y_0\right)} f(x, y)=A$，且存在首次极限 $\displaystyle \varphi(x)=\lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)$，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_0} \lim _{y \rightarrow y_0} f(x, y)=A$

多元函数的连续

• 二元函数的连续：设 $D \subset \mathbf{R}^2, P_0 \in D, f: D \rightarrow \mathbf{R}$. 若

  $$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P \in U\left(P_0, \delta\right) \cap D:\left|f(P)-f\left(P_0\right)\right|<\varepsilon$$

  则称 $f(P)$ 在 $P_0$ 连续.

• 二元函数的一致连续性：设 $D \subset \mathbf{R}^2, f: D \rightarrow \mathbf{R}$. 若

  $$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall P^{\prime}, P^{\prime \prime} \in D, d\left(P^{\prime}, P^{\prime \prime}\right)<\delta: \left|f\left(P^{\prime}\right)-f\left(P^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon$$

  则称 $f$ 在 $D$ 上一致连续，记为 $f \in U . C .(D)$

多元函数微分学

偏导数与全微分

• 偏导数：

  • 定义设 $f(x, y)$ 在 $U\left(P_0\left(x_0, y_0\right)\right)$ 有定义. 仅给 $x$ 以增量 $\Delta x$ 相应有函数的增量，函数 $f$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处对 $x$ 的偏导数

    $$f_x\left(x_0, y_0\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x, y_0\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{\Delta x}$$

  • 可偏导：两个偏导数都存在.
  • 连续与可偏导：可偏导未必连续，连续未必可偏导.

• 全微分：

  • 定义：对函数 $z=f(x, y)$ ，若全增量

    $$\begin{aligned} \Delta z & =f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) \\ & =A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y+o(\rho) \end{aligned}$$

    其中 $A, B$ 是常数，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，则称 $f$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 可微. 并把 $A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$ 称为 $f$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的全微分. 记为

    $$\left.\mathrm{d} z\right|_{\left(x_0, y_0\right)} =A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$$

  • 可微、连续与可偏导：
    • 可微必连续
    • 可微必可偏导，且若 $\left.\mathrm{d} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=A \cdot \Delta x+B \cdot \Delta y$，则

      $$f_x\left(x_0, y_0\right)=A, f_y\left(x_0, y_0\right)=B$$

    • 有连续偏导数必可微

复合函数微分法

• 复合函数的偏导数：

  • 定理：设 $u=u(x, y), v=v(x, y)$ 在 $(x, y)$ 可偏导，$z=f(u, v)$在相应的 $(u, v)$ 处可微，则复合函数 $z=f(u(x, y), v(x, y))$在 $(x, y)$ 处可偏导，且

    $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$

  • 推广：设向量值函数

    $$\boldsymbol{f}(u, v)=\binom{f_1(u, v)}{f_2(u, v)}, \quad \boldsymbol{g}(x, y)=\binom{u(x, y)}{v(x, y)}$$

    偏导数连续，则 $\displaystyle \boldsymbol{f} \circ \boldsymbol{g}=\binom{z_1(x, y)}{z_2(x, y)}$ 的 Jacobi 矩阵

    $$\boldsymbol{D}_{\boldsymbol{f} \circ \boldsymbol{g}}(x, y) \stackrel{\text { def }}{=}\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial z_1}{\partial x} & \frac{\partial z_1}{\partial y} \\ \frac{\partial z_2}{\partial x} & \frac{\partial z_2}{\partial y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial f_1}{\partial u} & \frac{\partial f_1}{\partial v} \\ \frac{\partial f_2}{\partial u} & \frac{\partial f_2}{\partial v} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} \end{array}\right)=\boldsymbol{D}_f(u, v) \cdot \boldsymbol{D}_{\boldsymbol{g}}(x, y)$$

• 一阶全微分形式的不变性：对于函数 $z=f(u, v)$ ，无论 $u, v$ 是自变量还是函数，都有

  $$\mathrm{d} z=\frac{\partial f}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial f}{\partial v} \mathrm{~d} v$$

高阶偏导数与全微分

• 高阶偏导数：

  • 定义：$f(x, y)$ 在某邻域内的偏导数 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 的偏导数称为 $f$ 的二阶偏导数. 记为

    $$\begin{aligned} & f_{x x}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right), f_{x y}=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \\ & f_{y x}=\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right), f_{y y}=\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \end{aligned}$$

  • 定理：若 $f(x, y)$ 的两个二阶混合偏导数在 $(x, y)$ 连续，则

    $$f_{x y}(x, y)=f_{y x}(x, y)$$

• 高阶全微分：高阶全微分不再具有形式不变性，如 $n$ 阶全微分

  $$\begin{aligned} \mathrm{d}^n z & =\left(\frac{\partial}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial}{\partial y} \mathrm{~d} y\right)^n z \\ & =\left(\sum_{k=0}^n C_n^k \frac{\partial^n}{\partial x^k \partial y^{n-k}} \mathrm{~d} x^k \mathrm{~d} y^{n-k}\right) z \end{aligned}$$

Taylor 公式与极值问题

• 二元函数的 Taylor 公式：

  • 凸区域：若区域 $D$ 中任意两点的连线都含于 $D$.
  • 微分中值定理：设 $f$ 在凸区域 $D$ 中可微，则 $\exists \theta \in(0,1)$ ：

    $$\begin{aligned} & f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)-f\left(x_0, y_0\right) \\ = ~ & f_x\left(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y\right) \Delta x+f_y\left(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y\right) \Delta y \end{aligned}$$

  • Taylor 公式：设函数 $f(x, y)$ 在 $U\left(P_0\left(x_0, y_0\right)\right)$ 有 $n+1$ 阶连续偏导数，则 $\exists \theta \in(0,1)$ ：

    $$f\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y\right)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^k f\left(x_0, y_0\right)+R_n$$

    其中 Lagrange 型余项

    $$R_n=\frac{1}{(n+1)!}\left(\Delta x \frac{\partial}{\partial x}+\Delta y \frac{\partial}{\partial y}\right)^{n+1} f\left(x_0+\theta \Delta x, y_0+\theta \Delta y\right)$$

• 二元函数的极值：

  • 极值定义：若在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的某邻域内

    $$f(x, y) \leq f\left(x_0, y_0\right) \quad\left(\text {or } f(x, y) \geq f\left(x_0, y_0\right)\right)$$

    则称函数 $f$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极大值（or 极小值），$P_0\left(x_0, y_0\right)$ 称为函数的极大值点（or 极小值点）.
  • 极值的必要条件：若 $f(x, y)$ 可偏导，且在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 取极值，则

    $$f_x\left(x_0, y_0\right)=0=f_y\left(x_0, y_0\right)$$

    满足上式的点称为驻点.
    • 极值点与驻点：驻点未必是极值点，极值点未必是驻点，可偏导的极值点必是驻点
  • 极值的充分条件：设 $f(x, y)$ 在 $U\left(P_0\left(x_0, y_0\right)\right)$ 的二阶偏导数连续，且

    $$f_x\left(x_0, y_0\right)=0, f_y\left(x_0, y_0\right)=0,$$

    记 Hesse 矩阵 $\boldsymbol{H}=\left(\begin{array}{cc}f_{x x} & f_{x y} \\ f_{y x} & f_{y y}\end{array}\right)_{P_0}$
    • 若 $\boldsymbol{H}$ 为正定矩阵，则 $f\left(x_0, y_0\right)$ 为严格极小值；若 $\boldsymbol{H}$ 为负定矩阵，则 $f\left(x_0, y_0\right)$ 为严格极大值
    • 若 $\boldsymbol{H}$ 为不定矩阵，则 $f\left(x_0, y_0\right)$ 非极值.

隐函数存在定理

• 一元隐函数：设函数 $F$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 邻域内有连续偏导数，且

  $$F\left(x_0, y_0\right)=0, \quad F_y\left(x_0, y_0\right) \neq 0$$

  则方程 $F(x, y)=0$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 某邻域内可确定唯一连续可导隐函数 $y=y(x)$ ，满足

  $$F(x, y(x)) \equiv 0\left(x \in U\left(x_0\right)\right), y_0=y\left(x_0\right)$$

  和

  $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=-\frac{F_x}{F_y}$$

• 多元隐函数：设函数 $F$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 邻域内有连续偏导数，且

  $$F\left(x_0, y_0, z_0\right)=0, \quad F_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \neq 0$$

  则方程 $F(x, y, z)=0$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 邻域内可确定唯一的隐函数 $z=f(x, y)$，满足

  $$F(x, y, f(x, y)) \equiv 0, \quad z_0=f\left(x_0, y_0\right)$$

  且有

  $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$$

方向导数与梯度

• 方向导数：

  • 定义：设 $\boldsymbol{l}^0=(\cos \alpha, \cos \beta)$，函数 $z=f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处沿 $\boldsymbol{l}$ 的方向导数定义为

    $$\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+t \cos \alpha, y_0+t \cos \beta\right)-f\left(x_0, y_0\right)}{t}$$

  • 充分条件和计算公式：$z=f(x, y)$ 在 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 可微， $\boldsymbol{l}^0=(\cos \alpha, \cos \beta)$，则 $f$ 在 $P_0$ 点存在方向导数，且

    $$\left.\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{l}}\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=f_x\left(x_0, y_0\right) \cos \alpha+f_y\left(x_0, y_0\right) \cos \beta$$

    • 方向导数、可微与可偏导：可微一定方向导数存在，方向导数存在一定可偏导，方向导数存在不一定极限存在，方向导数存在不一定连续

• 梯度：

  • 定义：函数 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 的梯度定义为

    $$\left.\nabla f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left.\operatorname{grad} f\right|_{\left(x_0, y_0\right)}=\left(f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)\right)$$

    简记为 $\nabla f=\left(f_x, f_y\right)$.
  • 性质：梯度的方向是方向导数取最大值时的方向，其模就是方向导数的最大值.

多元微分学的几何应用

• 空间曲线的切线及法平面：设空间曲线 $\Gamma$ 的参数方程

  $$x=x(t), y=y(t), z=z(t),$$

  $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right), M(x, y, z)$ 是 $\Gamma$ 上的点，且 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right), M(x, y, z)$ 分别对应参数 $t_0, t_0+\Delta t$，则 $M_0$ 处切向量

  $$\tau=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)$$

  切线方程

  $$\frac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)}$$

  法平面方程

  $$x^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right)\left(z-z_0\right)=0$$

• 曲面的切平面与法线：设曲面 $S$ 的方程 $F(x, y, z)=0, M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in S$，则 $M_0$ 处曲面（切平面）的法向量

  $$\nabla F\left(M_0\right)=\left.\left(F_x, F_y, F_z\right)\right|_{M_0}$$

  切平面方程

  $$F_x\left(M_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(M_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(M_0\right)\left(z-z_0\right)=0$$

  法线方程

  $$\frac{x-x_0}{F_x\left(M_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(M_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(M_0\right)}$$

• 平面曲线的切线：设函数 $F(x, y)$ 有连续偏导数，则曲线 $F(x, y)=0$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程

  $$F_x\left(x_0, y_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)=0$$

  法向量

  $$\boldsymbol{n}=\left.\left(F_x, F_y\right)\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$$

  切向量

  $$\boldsymbol{\tau}=\left.\left(F_y,-F_x\right)\right|_{\left(x_0, y_0\right)}$$

条件极值 – Lagrange 乘数法

• 问题的提出：求目标函数

  $$u=f(x, y, z)$$

  在约束条件 $\varphi(x, y, z)=0$ 下的极值.

• Lagrange 乘数法：引进辅助函数（Lagrange 函数）

  $$L(x, y, z, \lambda)=f(x, y, z)+\lambda \varphi(x, y, z)$$

  从其无条件极值的必要条件

  $$\left\{\begin{array}{l} L_x=f_x+\lambda \varphi_x=0 \\ L_y=f_y+\lambda \varphi_y=0 \\ L_z=f_z+\lambda \varphi_z=0 \\ L_\lambda=\varphi(x, y, z)=0 \end{array}\right.$$

  求出的 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是可能的条件极值点.

重积分

二重积分的概念和性质

• 二重积分定义：设 $f(x, y)$ 在可求面积有界闭集 $D \subset[a, b] \times[c, d]$ 上定义. 令 $f(x, y)=0,(x, y) \in[a, b] \times[c, d] \backslash D$. 若对 $[a, b] \times[c, d]$ 的 $\forall$矩形分划 $D_{i j}$ 及 $\forall\left(\xi_i, \eta_j\right) \in D_{i j},(i=1,2, \cdots, n ; j=1,2, \cdots, m)$ ，总有

  $$\lim _{\|T\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f\left(\xi_i, \eta_j\right) \Delta \sigma_{i j}=I.$$

  其中 $\displaystyle \|T\|=\max _{1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m}\left\{\operatorname{diam}\left\{D_{i j}\right\}\right\}$ ，则称 $f(x, y)$ 在 $D$ 上可积，$I$ 称为 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记为 $\displaystyle \iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$，其中 $\displaystyle \iint$ 为积分号，$D$ 为积分区域，$f(x, y)$ 为被积函数，$\mathrm{d} \sigma$ 为面积元素，$\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m f\left(\xi_i, \eta_j\right) \Delta \sigma_{i j}$ 称为 Riemann 和.

二重积分的计算

• 二次积分：

  • 定义：设 $f:[a, b] \times[c, d] \rightarrow \mathbf{R}$. 固定 $x \in[a, b]$，若存在首次积分 $\displaystyle \varphi(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$，且 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 可积，则称

    $$\int_a^b \varphi(x) \mathrm{d} x=\int_a^b\left(\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x$$

    为 $f$ 在 $[a, b] \times[c, d]$ 上先 $y$ 后 $x$ 的累次（二次）积分，也记为

    $$\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$$

  • 二次积分与二重积分：二重积分存在不能导出二次积分存在，二次积分存在不能导出二重积分存在

• 化二重积分为二次积分：

  • 定理：设 $f(x, y)$ 在 $[a, b] \times[c, d]$ 可积，且 $\forall x \in[a, b]$，存在首次积分 $\displaystyle F(x)=\int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$，则

    $$\iint_{[a, b] \times [c, d]} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y$$

  • 推论 1：若 $f(x, y)$ 在 $[a, b] \times[c, d]$ 连续，则有

    $$\iint_{[a, b] \times(c, d]} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d} y=\int_c^d \mathrm{~d} y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d} x$$

  • 推论 2：若 $f$ 在 $x$ 型区域 $D=\left\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, y_1(x) \leq y \leq y_2(x)\right\}$ 连续，则有

    $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x, y) \mathrm{d} y$$

  • 面积元素：$\mathrm{d} \sigma=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$

• 极坐标计算二重积分：从直角坐标到极坐标时的二重积分变换公式

  $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$$

  其中 $D^{\prime}$ 是 $D$ 在极坐标下的表示形式. 特别地，若

  $$D^{\prime}=\left\{(r, \theta) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta, r_1(\theta) \leq r \leq r_2(\theta)\right\}$$

  则有

  $$\begin{aligned} & \iint_{D^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \\ = & \int_\alpha^\beta \mathrm{d} \theta \int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r \end{aligned}$$

  • 面积元素：$\mathrm{d} \sigma=r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$

• 二重积分的变量代换：设变换 $T:\left\{\begin{array}{l}x=x(u, v) \\ y=y(u, v)\end{array}\right.$ 有连续偏导数，且满足 $\displaystyle J=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left|\begin{array}{ll}x_u & x_v \\ y_u & y_v\end{array}\right| \neq 0$，又 $f(x, y) \in C(D)$，则

  $$\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D^{\prime}} f(x(u, v), y(u, v))|J| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$$

  其中 $T$ 将 $D^{\prime}$ 变为 $D$.

三重积分

• 三重积分的概念和性质：设 $f(x, y, z)$ 在可求积有界闭域 $\Omega \subset[a, b] \times [c, d] \times[e, h](:=V)$ 定义. 令 $f(x, y, z)=0,(x, y, z) \in V \backslash \Omega$. 若对 $V$ 的 $\forall$ 长方体分划 $V_{i j k}$ 及 $\forall\left(\xi_i, \eta_j, \zeta_k\right) \in V_{i j k}$，总有

  $$\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^l \sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^n f\left(\xi_i, \eta_j, \zeta_k\right) \Delta V_{i j k}=I,$$

  其中 $\displaystyle \Delta V_{i j k}=\operatorname{Vol}\left(V_{i j k}\right), \lambda=\max _{1 \leq i \leq 1,1 \leq j \leq m, 1 \leq k \leq n}\left\{\operatorname{diam}\left\{V_{i j k}\right\}\right\}$，则称 $f(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上可积，称为 $f$ 在 $\Omega$ 上的三重积分，记为 $\displaystyle \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V$，$\mathrm{d} V$ 称为体积元素.

• 直角坐标计算三重积分：

  • 体积微元：$\mathrm{d} V=\mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$
  • 柱线法(坐标面投影法)：设 $\Omega$ 是以曲面 $z=z_1(x, y)$ 为底，曲面 $z=z_2(x, y)$ 为顶，而侧面是母线平行 $z$ 轴的柱面所围成区域. 又 $\Omega$ 在 $x y$上的投影区域为 $D$，则 $\Omega$ 可表示为

    $$\left\{(x, y, z) \mid z_1(x, y) \leq z \leq z_2(x, y),(x, y) \in D\right\}$$

    设 $D=\left\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, y_1(x) \leq y \leq y_2(x)\right\}$，从而
    $\begin{aligned} & \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_D\left(\int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ \stackrel{\text { def }}{=} ~&\iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \\ = ~& \int_a^b \mathrm{~d} x \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} \mathrm{d} y \int_{z_1(x, y)}^{z_2(x, y)} f(x, y, z) \mathrm{d} z \\\end{aligned}$
  • 截面法(坐标轴投影法)：设区域 $\Omega$ 在 $z$ 轴上投影区间为 $\left[h_1, h_2\right]$，即 $\Omega$ 介于平面 $z=h_1$ 与 $z=h_2$ 之间，过 $z$ 处且垂直 $z$ 轴的平面截 $\Omega$得截面区域 $D_z$，则 $\Omega$ 可表示为

    $$\Omega=\left\{(x, y, z) \mid h_1 \leq z \leq h_2,(x, y) \in D_z\right\}$$

    从而

    $$\begin{aligned} \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z & =\int_{h_1}^{h_2}\left(\iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right) \mathrm{d} z \\ & =\int_{h_1}^{h_2} \mathrm{~d} z \iint_{D_z} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \end{aligned}$$

• 三重积分的变量代换：

  • 变量代换：设变换 $T:\left\{\begin{array}{l}x=x(u, v, w) \\ y=y(u, v, w) \\ z=z(u, v, w)\end{array}\right.$ 有连续偏导数，且满足 $\displaystyle J=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}=\left|\begin{array}{lll} x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{array}\right| \neq 0$，又 $f(x, y, z) \in C(\Omega)$， 则

    $$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iiint_{\Omega^{\prime}} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))|J| \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \mathrm{~d} w .$$

    其中 $T$ 将 $\Omega^{\prime}$ 变为 $\Omega$
  • 柱面坐标系：此坐标系实乃 $x, y$ 坐标转变为极坐标，其变换公式为

    $$\left\{\begin{array}{l} x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ z=z \end{array}\right.$$

    由 $\displaystyle \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)}=\left|\begin{array}{ccc}\cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|=r$，得到柱面坐标积分公式

    $$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega^{\prime}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} z$$

    其中 $\Omega^{\prime}$ 是 $\Omega$ 在柱面坐标系下的表示形式.
    • 体积微元：$\mathrm{~d} V = r \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta \mathrm{~d} z$
  • 球面坐标系：设 $M(x, y, z)$ 是空间一点，引进球面坐标 $(\rho, \varphi, \theta)$，坐标变换关系式

    $$\left\{\begin{array}{l} x=\rho \sin \varphi \cos \theta \\ y=\rho \sin \varphi \sin \theta \\ z=\rho \cos \varphi \end{array}\right.$$

    由于 Jacobi 行列式

    $$\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)}=\left|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & -\rho \sin \varphi & 0 \end{array}\right|=\rho^2 \sin \varphi$$

    导出

    $$\iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V = \iiint_{\Omega^{\prime}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^2 \sin \varphi \mathrm{~d} \rho \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$$

    其中 $\Omega^{\prime}$ 是 $\Omega$ 在球面坐标系下的表示形式.
    • 体积微元：$\mathrm{d} V=\rho^2 \sin \varphi \mathrm{~d} \rho \mathrm{~d} \varphi \mathrm{~d} \theta$

第一类线面积分

第一类曲线积分

• 概念与性质：

  • 定义：

    $$\int_C f(x, y) \mathrm{d} s=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta s_i$$

  • 性质：与曲线方向无关、线性性、可加性

• 第一类曲线积分的计算：

  • 参数方程：设函数 $f(x, y)$ 在光滑曲线 $C$ 上连续，$C$ 的参数方程为

    $$\left\{\begin{array}{l} x=x(t), \\ y=y(t), \end{array} t \in[\alpha, \beta]\right.$$

    则

    $$\int_C f(x, y) \mathrm{d} s=\int_\alpha^\beta f(x(t), y(t)) \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$$

    其中弧微分 $\mathrm{d}s = \sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t$.
  • 显式方程：当曲线C形式为 $y=y(x), x \in[a, b]$

    $$\int_C f(x, y) \mathrm{d} s=\int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$$

    其中弧微分 $\mathrm{d}s = \sqrt{1+y^{\prime 2}(x)} \mathrm{d} x$.
  • 极坐标：在极坐标 $r=r(\theta)$ 时，弧微分 $\mathrm{d} s=\sqrt{r^2+r^{\prime 2}} \mathrm{~d} \theta$.

第一类曲面积分

• 概念与性质：

  • 定义：

    $$\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S$$

• 计算法：

  • 曲面 $S$ 为显式方程

    $$z=z(x, y), \quad(x, y) \in D$$

    则有

    $$\mathrm{d} S=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

    从而

    $$\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_D f(x, y, z(x, y)) \sqrt{1+z_x^2+z_y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

  • 曲面 $S$ 为双参数方程

    $$\left\{\begin{array}{l} x=x(u, v) \\ y=y(u, v) \\ z=z(u, v) \end{array}\right.$$

    $$\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_D f[x(u, v), y(u, v), z(u, v)] \sqrt{A^2+B^2+C^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v$$

    其中

    $$A=\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \quad B=\frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \quad C=\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}$$

第二类线面积分

第二类曲线积分

• 连通区域及其边界定向：

  • 设 $D$ 为平面区域，若 $D$ 内的任意一条闭曲线所围区域都落在 $D$ 内，则称 $D$ 为单连通的，否则称其为复连通的
  • 当点沿区域 $D$ 边界朝一个方向前进时，$D$ 总在其左手侧，规定此方向为区域 $D$ 诱导的边界正向，记为 $\partial D^{+}$；与 $\partial D^{+}$ 相反的方向称为 $D$ 的边界负向，记为 $\partial D^{-}$

• 第二类曲线的积分定义与计算：

  • 定义：设 $L$ 为定向曲线，向量场 $\boldsymbol{F}=(P, Q)$ 在 $L$ 上的第二类曲线积分

    $$\int_L \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}\stackrel{\text{def}}{=}\int_L\left(\boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{e}_\tau\right) \mathrm{d} s$$

    由于定向弧微分

    $$\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{e}_\tau \mathrm{d} s=(\cos \alpha, \cos \beta) \mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y)$$

    于是

    $$\begin{aligned} \int_L \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{e}_\tau \mathrm{d} s & =\int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s \\ & =\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \end{aligned}$$

  • 方向性：第二类曲线积分与曲线的方向有关，且

    $$\int_{L_{B A}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=-\int_{L_{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$$

  • 定理：若定向曲线 $L$ 为

    $$\left\{\begin{array}{l} x=x(t), \\ y=y(t), \end{array} t: \alpha \rightarrow \beta\right.$$

    则

    $$\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_\alpha^\beta\left[P(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+Q(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t$$

    • 特别地，若曲线 $L$ 的方程为 $y=y(x), x: a \rightarrow b$ ，则

      $$\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_a^b\left[P(x, y(x))+Q(x, y(x)) y^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x$$

Green 公式及其应用

• Green 公式：二重积分与其边界上第二类曲线积分的关系

  • 定理：设 $\boldsymbol{v}=(P, Q)$ 为平面有界闭域 $D$ 上的光滑向量场，$D$ 的边界分段光滑，则有

    $$\oint_{\partial D^{+}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$

  • 推论：设平面有界闭域 $D$ 的边界分段光滑，则其面积

    $$S=\frac{1}{2} \oint_{\partial D^{+}} x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x$$

  • Green 公式的向量形式：设 $\boldsymbol{v}=(Q,-P), \boldsymbol{e}_\tau=(\cos \alpha, \cos \beta)$ 为 $\partial D^{+}$的单位切向量，设 $\boldsymbol{n}^{\circ}$ 为 $\partial D$ 的单位外法向量，则 $\boldsymbol{n}^{\circ}=(\cos \beta,-\cos \alpha)$，故有

    $$\oint_{\partial D} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}^{\circ} \mathrm{d} s=\iint_D \nabla \cdot \boldsymbol{v} \mathrm{~d} \sigma$$

• 平面曲线积分与路径无关的条件：

  • 定义：设 $D$ 为平面单连通区域．若对任意 $A, B \in D$，以及任意分段光滑曲线 $L_{A B} \subset D$，曲线积分

    $$\int_{L_{A B}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$$

    的值仅与 $A, B$ 有关，而与 $L$ 无关，则称在 $D$ 内曲线积分与路径无关，此时积分可记为

    $$\int_A^B P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$$

  • 定理（Green）：设 $\boldsymbol{v}=(P(x, y), Q(x, y))$ 是单连通区域 $D$ 内的光滑向量场，则下面四条等价：
    • 在 $D$ 内的任一条分段光滑闭曲线 $L$ 上

      $$\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0$$

    • 在 $D$ 内曲线积分 $\displaystyle \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 与路径无关
    • $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 是某函数 $\varphi(x, y)$ 的全微分，即 $\exists \varphi$ 使得 $\mathrm{d} \varphi=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$，此时称 $\varphi$ 是 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 的原函数
    • 在 $D$ 内恒成立 $\displaystyle ~ \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv \frac{\partial P}{\partial y}$

第二类曲面积分

• 双侧曲面及其定侧：

  • 定侧曲面：双侧曲面 $S$ 的侧向由其法向量组确定. 选定 $S$ 的一侧为正侧，记为 $S^{+}$，则另一侧为负侧，记为 $S^{-}$
  • 约定：若曲面 $S$ 的单位法向量 $\boldsymbol{n}^{\circ}$ 与 $z$ 轴正向夹角 $\gamma<90^{\circ}$，指向上侧，规定为 $S$ 的正侧；封闭曲面规定其外侧为正侧

• 第二类曲面积分的定义：

  • 定义：定义设 $S$ 为定侧曲面，向量场 $\boldsymbol{v}=(P, Q, R)$ 在 $S$ 上的第二类曲面积分

    $$\iint_S \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{S}=\iint_S\left(\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}^{\circ}\right) \mathrm{d} S$$

    由于定侧曲面微元

    $$\mathrm{d} \boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}^{\circ} \mathrm{d} S=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \mathrm{d} S=(\mathrm{d} y \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y)$$

    于是

    $$\begin{aligned} \iint_S \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{S} & =\iint_S(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} S \\ & =\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \end{aligned}$$

  • 侧向性：第二类曲面积分与曲面的侧向有关，且

    $$\iint_{S^{-}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-\iint_{S^{+}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

• 第二类曲面积分的计算：

  • 定理：若定侧光滑曲面 $S$ 为

    $$x=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v), \quad(u, v) \in D$$

    则

    $$\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_D(P A+Q B+R C) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v$$

    其中 $\pm$ 号选择由 $S$ 指定侧的法向量确定.
    • 若曲面 $S$ 的方程为 $z=z(x, y),(x, y) \in D$，则

      $$\iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y= \pm \iint_D\left(-P z_x-Q z_y+R\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$

Gauss 公式

• Gauss 公式：三重积分与其边界上第二类曲面积分的关系

  • 定理：设 $\boldsymbol{v}=(P, Q, R)$ 为空间有界闭域 $\Omega$ 上的光滑向量场，$\partial \Omega$ 是分片光滑闭曲面，则有

    $$\oiint_{\partial \Omega^{+}} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} V$$

  • 推论：设空间有界闭域 $\Omega$ 的边界分片光滑，则其体积

    $$V(\Omega)=\frac{1}{3} \oiint_{\partial \Omega^{+}} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$$

• 散度：

  • 定义：向量场 $\boldsymbol{v}=(P, Q, R)$ 的散度定义为

    $$\operatorname{div} \boldsymbol{v} \stackrel{\text { def }}{=} \nabla \cdot \boldsymbol{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

  • Gauss 公式的向量形式：

    $$\oiint_{\partial \Omega^{+}} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{S}=\iiint_{\Omega} \nabla \cdot \boldsymbol{v} \mathrm{d} V=\iiint_{\Omega} \operatorname{div} \boldsymbol{v} \mathrm{d} V$$

Stokes 公式

• Stokes 公式：第二类曲面积分与其边界上第二类曲线积分关系

  • 定理：设 $\boldsymbol{v}=(P, Q, R)$ 为空间光滑曲面 $S$ 上的光滑向量场，$\partial S$ 是分段光滑闭曲线，则有

    $$\oint_{\partial S} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z = \iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$$

    其中 $\partial S$ 的方向与 $S$ 的侧向按右手法则联系.

• 旋度：

  • 定义：向量场 $\boldsymbol{v}=(P, Q, R)$ 的旋度定义为

    $$\begin{aligned} \operatorname{rot} \boldsymbol{v} & =\nabla \times \boldsymbol{v}=\left|\begin{array}{ccc} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y} & \dfrac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| \\ & =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \end{aligned}$$

  • Stokes 公式的向量形式：记 $\boldsymbol{r}=(x, y, z)$ ，则 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$，Stokes 公式可写成

    $$\begin{aligned} \oint_{\partial S} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r} & =\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{v} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{S} \\ & =\iint_S \operatorname{rot} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}^{\circ} \mathrm{d} S \end{aligned}$$

    其中 $\partial S$ 的定向与 $S$ 的定侧 $\left(\boldsymbol{n}^{\circ}\right)$ 满足右手法则.

参考资料

本文参考了上海交通大学《数学分析（荣誉）》课程 MATH1607H/MATH1608H 陈克应老师的 PPT 课件。