Math Review: Linear Algebra

本期是线性代数的简单复习。

行列式

• 逆序数：若存在一个大数排在一个小数前面，则构成一个逆序

  $$\tau(n, n-1, \cdots, 1) = \frac{n(n-1)}{2}$$

• 行列式的定义：

  $$D=\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=\sum(-1)^{\tau\left(j_1 \cdots j_i\right)} a_{1 j_i} \cdots a_{n j_n}$$

• 行列式的性质：

  • 行列式转置，行列式的值不变，即 $|A^T| = |A|$
  • 行列式的两行互换，行列式反号
  • 用 $k$ 乘以行列式，相当于用 $k$ 乘以该行列式的某一行
  • 如果行列式某行元素均为两个数之和，则其行列式可以分解为两个行列式之和
  • 将行列式的某行的 $k$ 倍加到另一行上去，行列式的值不变

• 常用公式：设 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶方阵，

  • $\left|A^{\mathrm{T}}\right|=|A|$
  • $|\lambda A|=\lambda^n|A|$
  • $|A B|=|B A|=|A||B|$
  • $|A^k|=|A|^k$
  • 若 $A$ 可逆，$\left|A^{-1}\right|=\dfrac{1}{|A|}$
  • $\left|A^*\right|=|A|^{n-1}(n \ge 2)$
  • $|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$，其中 $\lambda_1 \lambda_2 \dots \lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值
  • 若 $A$ 和 $B$ 相似，则 $|A|=|B|$
  • 若 $A$ 和 $B$ 相似，$B$ 和 $C$ 相似，则 $|A|=|C|$

• 常用结论：

  • 若 $A$ 为方阵且 $|A| \neq 0$，那么
    • $r(A) = n$
    • $A$ 可逆，$A^*=|A| A^{-1}$
    • $Ax=0$ 仅有零解，$Ax=b$ 有唯一解
    • $A$ 的行（列）向量组没有多余的向量，线性无关
    • $A$ 的列向量组是 $n$ 维向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的一组基
    • $A^T A$ 是正定矩阵
    • $A$ 的特征值不为 0
  • 若 $A$ 为方阵且 $|A| = 0$，那么
    • $r(A) < n$
    • $A$ 不可逆
    • $Ax=0$ 有非零解，$Ax=b$ 有无穷多解或无解
    • A$ 的行（列）向量组有多余的向量，线性相关
    • $A^T A$ 是半正定矩阵
    • $A$ 有 0 特征值

• 代数余子式：$A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式

  • 只与位置有关，与被选中的元素无关

• 行列式展开定理：

  • 按某行展开：

    $$D_n=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}$$

  • 按某列展开：

    $$D_n=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}$$

  • 推论：替换法则

    $$a_{i 1} A_{j 1}+a_{i 2} A_{j 2}+\cdots+a_{i n} A_{j n}=\begin{cases} |A|, & i=j \\ 0, & i \neq j \end{cases}$$

参考资料

本笔记参考了 B 站 UP 当年线代视频。