计算机组成知识点整理(3)：算术运算

这是SJTU-ICE2603《计算机组成》课程的知识点整理系列。本文整理部分为“第3章：算数运算”。

3.1 加法和减法

3.1.1 加法

• 溢出条件：
  • 两正数相加结果为负
  • 两负数相加结果为正

3.1.2 减法

• ​实现方式：加上第二个操作数的相反数
• ​溢出条件：
  • 正数减负数结果为负
  • 负数减正数结果为正

3.1.3 溢出判断总结

操作	操作数 $A$ 符号	操作数 $B$ 符号	溢出条件（结果符号）
$A+B$	$\ge 0$	$\ge 0$	$<0$
$A+B$	$<0$	$<0$	$\ge 0$
$A-B$	$\ge 0$	$<0$	$<0$
$A-B$	$<0$	$\ge 0$	$\ge 0$

3.2 乘法

3.2.1 串行乘法器

第一版乘法器

• ​操作流程：
  • 初始化：积寄存器清零
  • 循环 64 次：
    • 若乘数最低位 = 1：积 += 被乘数
    • 被乘数左移 1 位
    • 乘数右移 1 位

改良版乘法器

• 优化方法：并行地执行加法和移位，每次加上部分积占一个周期

• 注：乘数开始位于积寄存器的右半部分

3.2.2 快速乘法器

• 优化方法：每个乘数位提供一个 64 位加法器

• 可流水线化：几个乘法并行执行

3.2.3 RISC-V 中的乘法

指令	功能描述
mul	取乘积低 64 位
mulh	有符号乘法取高 64 位
mulhu	无符号乘法取高64位
mulhsu	有符号 × 无符号取高 64 位

• 溢出判断：用 mulh / mulhu 的结果来检查 64 位的溢出

3.3 除法

3.3.1 除法器

第一版除法器

• 操作流程：
  • 初始化：余数初始化为被除数，除数左移 64 位
  • 循环 65 次：
    • 余数 -= 除数
    • 若余数 < 0：恢复余数，商左移补 0
    • 否则：商左移补 1
    • 除数右移 1 位

改良版除法器

• 优化方法：并行地执行减法和移位，每次减去部分余数占一个周期
• 硬件复用：可以与乘法器使用相同的硬件

3.3.2 有符号除法

• 方法：用绝对值相除，再按要求调整商和余数的符号

3.3.3 快速除法

• 无法并行：减法取决于余数的符号
• 多位预测：可以通过预测多位商再纠正错误的方法来加速

3.3.4 RISC-V 中的除法

指令	功能描述	指令	功能描述
div	有符号除法	divu	无符号除法
rem	有符号取余	remu	无符号取余

• 溢出和除 0：不产生错误，只返回预先定义的结果

3.4 浮点运算

3.4.1 浮点表示

• 规格化的科学计数法： $1.xxxxxxxxx_2 \times 2^{yyyy}$

IEEE 浮点格式

类型	符号位	指数位	尾数位	偏阶
单精度（32位）	1	8	23	127
双精度（64位）	1	11	52	1023

$$x = (-1)^S × (1 + \text{尾数}) × 2^{(\text{指数} - \text{偏阶})}$$

• $S$：符号位（0 $\Rightarrow$ 非负数，1 $\Rightarrow$ 负数）
• 规格化二进制数的前导位 1 是隐含的，即有效位数是 24 或 53 位
• 指数 = 实际指数 + 偏阶

表示范围与精度

• 表示范围：

  • 指数全 0 和全 1 为保留值
  • 单精度：$\pm 1.0 \times 2^{-126} \sim \pm 2.0 \times 2^{+127}$
  • 双精度：$\pm 1.0 \times 2^{-1022} \sim \pm 2.0 \times 2^{+1023}$

• 溢出：

  • 上溢：正指数太大而无法用指数字段表示
  • 下溢：负指数太大而无法用指数字段表示

• 浮点精度：

  • 单精度：约 $2^{-23}$
  • 双精度：约 $2^{-52}$

3.4.2 浮点加法与乘法

加法步骤

1. 对齐二进制小数点（右移指数小的数）
2. 将有效数字相加
3. 规格化结果并检查上溢 / 下溢
4. 舍入，如有需要再次规格化

硬件实现

• 通常占几个周期
• 能流水线化

3.4.3 RISC-V 中的浮点指令

• 独立浮点寄存器：$\texttt{f0} \sim \texttt{f31}$
  • 单精度寄存器只是双精度寄存器的后半部分
• 指令格式：与整型指令相同
• 比较结果：结果为 0 或 1 ，保存在整数目的寄存器中

• 例：$\texttt{fahr}$ 保存在 $\texttt{f10}$ 中，结果保存在 $\texttt{f10}$ 中，数字保存在全局存储空间中

float f2c (float fahr) {
    return ((5.0 / 9.0) * (fahr - 32.0));
}

f2c:
    flw f0, const5(x3)    // f0 = 5.0f
    flw f1, const9(x3)    // f1 = 9.0f
    fdiv.s f0, f0, f1     // f0 = 5.0f / 9.0f
    flw f1, const32(x3)   // f1 = 32.0f
    fsub.s f10, f10, f1   // f10 = fahr – 32.0
    fmul.s f10, f0, f10   // f10 = (5.0f/9.0f)*(fahr–32.0f)
    jalr x0, 0(x1)        // return

3.4.4 算数精确性

• 附加的舍入控制（IEEE 754）：
  • 为精度多保留的位（保护位、舍入位）
  • 多种舍入模式

3.5 子字并行

• 子字并行：在一个宽字内部进行的并行操作
  • 如：在 128 位加法器内并行操作 16 个 8 位操作数
  • 用于图像和音频应用对短向量的同时运算
  • 又称数据级并行、向量并行、SIMD (单指令多数据)

历年真题

1. ALU属于

• A：组合逻辑电路
• B：时序电路
• C：控制器
• D：寄存器

2. 在计算机的整数算术运算中，哪种类型的计算无法用流水线加速

• A：乘法
• B：加法
• C：除法
• D：减法

3. 关于运算中的溢出，以下表述中不正确的是

• A：只有算术运算指令需要判断溢出
• B：逻辑运算指令一定不会引发溢出
• C：下溢指的是一个负数其绝对值过大无法表达
• D：上溢指的是一个正数其绝对值过大无法表达

Reference

https://gist.github.com/smallaccount101/6324d7c82d103783f21b7cc6da7d0f7c

注：本文中部分图片来自《计算机组成与设计·硬件/软件接口》。