量子物理备忘录

这是大学物理3（量子物理）的一个公式备忘录～

基础知识

相对论基础

1. 相对论质量

   $$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

2. 静能、动能与总能关系

   $$E = E_k + m_0 c^2 = m c^2$$

3. 相对论能量和动量关系

   $$E^2 = p^2 c^2 + E_0^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$

常微分方程基础

1. $$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2} + k^2 \psi = 0$$

   $$\Rightarrow \psi(x) = A \sin kx + B \cos kx$$

   $$( \; \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \;)$$

2. $$\frac{d^2 \psi}{dx^2} - k^2 \psi = 0$$

   $$\Rightarrow \psi(x) = A e^{kx} + B e^{-kx}$$

欧拉公式

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

量子光学

黑体辐射

1. 斯特藩-玻尔兹曼定律

   $$M_0(T) = \sigma T^4$$

2. 维恩位移定律

   $$\lambda_m T = b$$

3. 普朗克能量子假说

   $$E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$$

光电效应

1. 爱因斯坦光电效应方程

   $$h \nu - A = \frac{1}{2} m v^2 = e U_0$$

2. 光的波粒二象性

   $$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \nu}{c}$$

康普顿散射

$$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{h}{m_0 c}(1 - \cos \theta)$$

玻尔原子模型

1. 里德伯方程

   $$\tilde{v} = \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

2. 角动量量子化条件

   $$L = n \frac{h}{2 \pi} = n \hbar$$

3. 氢原子半径

   $$r_n = n^2 r_1$$

4. 氢原子能量

   $$E_n = \frac{E_1}{n^2}$$

物质波与波函数

物质波

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

不确定度关系

1. 位置与动量的不确定度关系

   $$\Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$$

2. 能量与时间的不确定度关系

   $$\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$$

波函数

1. 波函数的统计解释

   $$\rho(\bm{r}, t) = |\Psi(\bm{r}, t)|^2 = \Psi^*(\bm{r}, t) \Psi(\bm{r}, t)$$

2. 归一化条件

   $$\iiint \vert\Psi(\bm{r}, t)\vert^2 \mathrm{d} V = 1$$

3. 波函数性质：单值、有限、连续（波函数及导函数）

薛定谔方程与态叠加原理

薛定谔方程

1. 基本算符

• 拉普拉斯算符

  $$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

• 哈密顿算符

  $$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\bm{r}, t)$$

2. 含时薛定谔方程

   $$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi$$

3. 定态薛定谔方程

   $$\hat{H} \psi(\bm{r}) = E \psi(\bm{r})$$

态叠加原理

1. 态叠加原理

   $$\Psi = C_1 \Psi_1 + C_2 \Psi_2 + \cdots + C_n \Psi_n$$

   • 体系处于 $\Psi_k$ 态的概率为 $|C_k|^2$

2. 定态波函数

   $$\Psi(\bm{r}, t) = \psi_n(\bm{r}) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t}$$

3. 量子态演化

   $$\Psi(\bm{r}, 0) = \sum_n C_n \psi_n(\bm{r})$$

   $$\Rightarrow \Psi(\bm{r}, t) = \sum_n C_n \psi_n(\bm{r}) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t}$$

   • 含时薛定谔方程的解是定态波函数的线性叠加

4. 能量平均值

   $$\langle E \rangle = \sum_n \vert C_n \vert^2 E_n$$

物理量与算符

本征值与本征函数

1. 本征值方程

   $$\hat{F} u = \lambda u$$

   • $u$ 称为本征函数，$\lambda$ 称为本征值
   • 力学量单次测量的结果必然是某一本征值
   • 本征值的简并：同一本征值对应多个线性无关的本征函数

2. 力学量的平均值

   $$\langle \hat{F} \rangle = \int u^* \hat{F} u \, \mathrm{d}\tau \equiv \langle u \vert \hat{F} \vert u \rangle$$

3. 力学量的方差

   $$(\Delta F)^2 = \langle (\hat{F} - \langle \hat{F} \rangle)^2 \rangle = \int u^* (\hat{F} - \langle \hat{F} \rangle)^2 u \, \mathrm{d}\tau$$

力学量算符

1. 厄米算符

   $$\iiint \psi^* \hat{F} \varphi \,\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iiint (\hat{F} \psi)^* \varphi \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

   • 厄米算符的本征值为实数
   • 力学量算符必须是线性厄米算符

2. 厄米算符本征函数的正交性

   $$\int u_k^* u_l \mathrm{d}\tau = \langle u_k \vert u_l \rangle = 0 \quad (k \neq l)$$

   归一化后，

   $$\int u_k^* u_l \mathrm{d}\tau = \langle u_k \vert u_l \rangle = \delta_{kl} = \begin{cases} 1, & k = l \\ 0, & k \neq l \end{cases}$$

   • 两个不同本征值的本征函数总是正交的

3. 厄米算符本征函数的完备性

   任意模平方可积函数 $\psi$ 可表示为

   $$\vert \psi \rangle = \sum_l C_l \, \vert u_l \rangle$$

   其中展开系数

   $$C_n = \langle u_n \vert \psi \rangle$$

   • 厄米算符所对应的一组本征函数是完备的
   • 在 $\psi$ 下测得力学量 $\hat{F}$ 的值为 $\lambda_l$ 的概率：

   $$\vert C_l \vert ^2 = \vert \langle u_l \vert \psi \rangle \vert ^2$$

   • 在 $\psi$ 下力学量 $\hat{F}$ 的平均值：

   $$\langle \hat{F} \rangle = \langle \psi \vert \hat{F} \vert \phi \rangle = \sum_l \vert C_l \vert ^2 \lambda_l$$

常见的力学量算符

动量算符

1. 动量算符

   $$p \leftrightarrow \hat{p} = -i \hbar \bm{\nabla}$$

   $$p_x \leftrightarrow \hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

   $$p_x^2 \leftrightarrow \hat{p}_x^2 = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

   $$p^2 \leftrightarrow \hat{p}^2 = \hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2 = - \hbar^2 \nabla^2$$

2. 本征函数

   $$\psi = Ce^{\frac{i}{\hbar} \bm{p} \cdot \bm{r}}$$

   • 这是单色平面波，有确定的动量

3. 动能算符

   $$T \leftrightarrow \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2$$

角动量算符

1. 角动量算符

   $$L = \bm{r} \times \bm{p} \leftrightarrow \hat{L} = \bm{r} \times \bm{p} = -i \hbar \bm{r} \times \bm{\nabla}$$

   $$L_x \leftrightarrow \hat{L}_x = y \hat{p}_z - z \hat{p}_y$$

   $$L_y \leftrightarrow \hat{L}_y = z \hat{p}_x - x \hat{p}_z$$

   $$L_z \leftrightarrow \hat{L}_z = x \hat{p}_y - y \hat{p}_x$$

   $$L^2 \leftrightarrow \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2$$

2. 本征函数

   $$Y_{lm}(\theta, \phi) = N_{lm} P_l^m(\cos\theta) e^{im\phi}$$

   • 角量子数 $l = 0, 1, 2, \ldots$
   • 磁量子数 $m = 0, \pm 1, \ldots, \pm l$
   • $Y_{lm}(\theta, \phi)$ 是球谐函数，$P_l^m(\cos\theta)$ 是连带勒让德函数，$N_{lm}$ 是归一化常数
   • 角动量平方 $\hat{L}_z$ 的本征态同时也是角动量分量 $\hat{L}_z$ 的本征态

3. 角动量算符的本征值

   $$L^2 = l(l+1)\hbar^2,\ l = 0, 1, 2, \ldots$$

   $$L_z = m \hbar, \, m = 0, \pm 1, \ldots, \pm l$$

对易关系

1. 对易的定义

   $$\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \equiv [\hat{A}, \hat{B}] = 0$$

   • 力学量能同时确定（即具有共同本征态）的充分必要条件是它们的算符对易

2. 对易括号的性质

   $$[\hat{A}, \hat{B}] = -[\hat{B}, \hat{A}]$$

   $$[\hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [\hat{A}, \hat{B}] + [\hat{A}, \hat{C}]$$

   $$[\hat{A}\hat{B}, \hat{C}] = \hat{A}[\hat{B}, \hat{C}] + [\hat{A}, \hat{C}]\hat{B}$$

3. 不确定度关系

   $$\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \vert \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle \vert$$

4. 位置算符与动量算符的对易关系

   $$[x, y] = 0 \quad [y, z] = 0 \quad [z, x] = 0$$

   $$[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = 0 \quad [\hat{p}_y, \hat{p}_z] = 0 \quad [\hat{p}_z, \hat{p}_x] = 0$$

   $$[x, \hat{p}_x] = i \hbar \quad [x, \hat{p}_y] = 0 \quad [x, \hat{p}_z] = 0$$

   $$[y, \hat{p}_x] = 0 \quad [y, \hat{p}_y] = i \hbar \quad [y, \hat{p}_z] = 0$$

   $$[z, \hat{p}_x] = 0 \quad [z, \hat{p}_y] = 0 \quad [z, \hat{p}_z] = i \hbar$$

5. 轨道角动量算符的对易关系

   $$[\hat{L}_x,\hat{L}_y] = i \hbar \hat{L}_z \quad [\hat{L}_y,\hat{L}_z] = i \hbar \hat{L}_x \quad [\hat{L}_z,\hat{L}_x] = i \hbar \hat{L}_y$$

   $$[\hat{L}^2, \hat{L}_x] = 0 \quad [\hat{L}^2, \hat{L}_y] = 0 \quad [\hat{L}^2, \hat{L}_z] = 0$$

定态问题

一维无限深势阱

1. 定态波函数

   $$\psi(x) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \dfrac{n \pi x}{L}, & 0 \le x \le L \\ 0, & x < 0, \, x > L \end{cases}$$

2. 能量本征值

   $$E_n = n^2 E_1 = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}$$

一维方势垒

1. 概率流密度（平面波情形）

   $$J = \frac{\hbar k}{m} |A|^2$$

2. 反射系数与透射系数

   $$R = \left\vert \frac{J_r}{J_i} \right\vert \quad \quad T = \left\vert \frac{J_t}{J_i} \right\vert$$

   • $R + T = 1$

3. 隧道效应：即使在 $E < V_0$ 的情况下，透射系数 $T$ 不为零，即粒子能穿过比它动能更高的势垒

一维有限深势阱

• 无论势阱多小，总存在一个偶宇称的束缚态（基态）
• 相同能级的能量低于一维无限深势阱

一维谐振子

1. 势能函数

   $$V = \frac{1}{2} \mu \omega^2 x^2$$

2. 波函数

   $$\psi_n(x) = N_n H_n(\xi) e^{-\frac{1}{2}\xi^2} = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n \left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$$

   • $H_n(\xi)$ 是厄米多项式，$N_n$ 是归一化常数

3. 能量本征值

   $$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega$$

   • 能级量子化且均匀分布

氢原子

1. 四个量子数及物理意义

   量子数	取值	物理意义
   主量子数 $n$	$n = 1, 2, \dots$	决定电子能量 $E_n = \dfrac{E_1}{n^2}$
   角量子数 $l$	$l = 0, 1, \dots, n-1$	决定轨道角动量的大小 $L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$
   磁量子数 $m_l$	$m_l = 0, \pm 1, \dots, \pm l$	决定轨道角动量的 $z$ 分量 $L_z = m_l \hbar$
   自旋磁量子数 $m_s$	$m_s = \pm \dfrac{1}{2}$	决定自旋角动量的 $z$ 分量 $S_z = m_s \hbar$

   • $l = 0,1,2,3,4,\dots$ 的电子态分别称为 $s, p, d, f, g, \dots$ 轨道

2. 波函数

   $$\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi)$$

3. 电子的概率密度分布

   $$\rho_{nlm_l}(r, \theta, \varphi) = \vert R_{nl}(r) \vert^2 r^2 \mathrm{d}r \cdot \vert Y_{lm}(\theta, \varphi) \vert^2 \mathrm{d}\Omega$$

   • 径向概率密度：$\vert R_{nl}(r) \vert^2 r^2 \mathrm{d}r$
   • 角向概率密度：$\vert Y_{lm}(\theta, \varphi) \vert^2 \mathrm{d}\Omega$

自旋

自旋算符

1. 自旋角动量的对易关系

   $$[\hat{S}_x,\hat{S}_y] = i \hbar \hat{S}_z \quad [\hat{S}_y,\hat{S}_z] = i \hbar \hat{S}_x \quad [\hat{S}_z,\hat{S}_x] = i \hbar \hat{S}_y$$

   $$[\hat{S}^2, \hat{S}_x] = 0 \quad [\hat{S}^2, \hat{S}_y] = 0 \quad [\hat{S}^2, \hat{S}_z] = 0$$

2. 自旋算符的本征值

   $$S_x = \pm \frac{\hbar}{2} \quad S_y = \pm \frac{\hbar}{2} \quad S_z = \pm \frac{\hbar}{2}$$

   $$S^2 = s(s+1)\hbar^2 = \frac{3}{4} \hbar^2$$

   • 自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取 $\pm \dfrac{\hbar}{2}$ 两个值

3. 自旋算符的矩阵表示

   $$\hat{S}_x = \frac{\hbar}{2} \hat{\sigma}_x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}$$

   $$\hat{S}_y = \frac{\hbar}{2} \hat{\sigma}_y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix}$$

   $$\hat{S}_z = \frac{\hbar}{2} \hat{\sigma}_z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

4. 自旋波函数的矩阵表示

   $$\chi_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \chi_{-1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$

   即有

   $$\hat{S}_z \chi_1 = \frac{\hbar}{2} \chi_1 \quad \hat{S}_z \chi_{-1} = -\frac{\hbar}{2} \chi_{-1}$$

LS 耦合

1. 轨道磁矩

   $$\bm{\mu_l} = -\frac{e}{2m_e} \bm{L} = - g_l \frac{\mu_B}{\hbar} \bm{L}$$

   $$\mu_l = -g_l \mu_B \sqrt{l(l+1)}$$

   $$\mu_{l, z} = -\frac{e}{2m_e} L_z = -g_l m_l \mu_B$$

   其中

   $$m_l = -l, -(l-1), \dots, l - 1, l$$

   $$g_l = 1$$

   • 玻尔磁矩 $\mu_B = \dfrac{e\hbar}{2m_e}$
   • 轨道旋磁比 $\left\vert \dfrac{\mu_{l, z}}{L_z} \right\vert = \dfrac{e}{2m_e}$

2. 自旋磁矩

   $$\bm{\mu_s} = -\frac{e}{m_e} \bm{S} = - g_s \frac{\mu_B}{\hbar} \bm{S}$$

   $$\mu_s = -g_s \mu_B \sqrt{s(s+1)}$$

   $$\mu_{s, z} = -\frac{e}{m_e} S_z = - g_s m_s \mu_B$$

   其中

   $$m_s = -s, -(s-1), \dots, s - 1, s$$

   $$g_s = 2$$

   • 自旋旋磁比 $\left\vert \dfrac{\mu_{s, z}}{S_z} \right\vert = \dfrac{e}{m_e}$

3. 有效磁矩

   $$\bm{\mu_J} = -g_j \frac{\mu_B}{\hbar} \bm{J}$$

   $$\mu_J = -g_j \mu_B \sqrt{j(j + 1)}$$

   $$\mu_{J, z} = - g_j m_j \mu_B$$

   其中

   $$m_j = -j, -(j-1), \dots, j - 1, j$$

   $$g_j = 1 + \frac{j(j+1)+s(s+1)-l(l+1)}{2j(j+1)}$$

斯特恩-盖拉赫实验

• 束线条数：$2 j + 1$
• 偏转距离：与 $\mu_z$ 成正比

塞曼效应

1. 光谱项符号： $n^{2s+1}L_j$

   • $s$ 是总自旋量子数
   • $L$ 是轨道角动量量子数的字母代号
   • 总角动量量子数 $j = l + s, l + s - 1, \dots, \vert l - s \vert$

2. 能级分裂间隔

   $$\Delta E = m_j g_j \mu_B B$$

   • 在外磁场中，原子能级按照 $m_j$ 的取值都分裂为 $(2j+1)$ 个等间隔的能级

3. 跃迁选择定则

   $$\Delta m_j = 0, \pm 1$$

4. 跃迁能量差

   $$h \nu' = h \nu + (m_{j2}g_2 - m_{j1}g_1) \mu_B B$$

   即

   $$\tilde{\nu}' - \tilde{\nu} = (m_{j2}g_2 - m_{j1}g_1) L$$

   其中 $L = \dfrac{eB}{4\pi m_e c}$ 为洛伦兹单位

5. 正常塞曼效应：$s = 0$，反常塞曼效应：$s \neq 0$

两电子体系

1. 双电子 L-S 耦合

   $$L = l_1 + l_2, l_1 + l_2 - 1, \dots, \vert l_1 - l_2 \vert$$

   $$S = s_1 + s_2, s_1 + s_2 - 1, \dots, \vert s_1 - s_2 \vert$$

   $$J = L + S, L + S - 1, \dots, \vert L - S \vert$$

   • 能级缺失：两电子 L-S 耦合中，有些能级没有出现

2. Pauli 不相容原理：不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子数

   • 同科电子的偶数定则：对于 $n$ 和 $l$ 相同的两个电子，$L + S$ 必为偶数
   • 一般描述：对由费米子组成的系统都成立

3. 全同性原理：两全同粒子相互调换不引起体系物理状态的改变（微观粒子不可区分）

4. 交换对称：

   $$\Psi_S(q_1, q_2) = + \Psi(q_2, q_1)$$

   • 玻色子：自旋为整数，波函数为完全对称

5. 交换反对称：

   $$\Psi_A(q_1, q_2) = - \Psi(q_2, q_1)$$

   • 费米子：自旋为半整数，波函数完全反对称

6. 两电子的自旋波函数

   • $S = 1$ 对称波函数（三重态）：

   $$\vert \uparrow \uparrow \, \rangle \quad \frac{1}{\sqrt{2}} (\, \vert \uparrow \downarrow \, \rangle + \vert \downarrow \uparrow \, \rangle \,) \quad \vert \downarrow \downarrow \, \rangle$$

   • $S = 0$ 反对称波函数（单重态）：

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} (\, \vert \uparrow \downarrow \, \rangle - \vert \downarrow \uparrow \, \rangle \,)$$

7. 电子的总波函数：反对称，由空间波函数 $u$ 和自旋波函数 $\chi$ 组成

   $$\Psi = u \chi$$

   • 当 $L$ 为偶数时，空间波函数对称，因此自旋波函数必须反对称，即 $S = 0$
   • 当 $L$ 为奇数时，空间波函数反对称，因此自旋波函数必须对称，即 $S = 1$