量子物理备忘录

这是大学物理3（量子物理）的一个公式备忘录～

基础知识

相对论基础

1. 相对论质量

$$m = \frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$

2. 静能、动能与总能关系

$$E = E_k + m_0 c^2 = m c^2$$

3. 相对论能量和动量关系

$$E^2 = p^2 c^2 + E_0^2 = p^2 c^2 + m_0^2 c^4$$

常微分方程基础

$$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2} + k^2 \psi = 0$$

$$\Rightarrow \psi(x) = A \sin kx + B \cos kx$$

$$( \; \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} \;)$$

$$\frac{d^2 \psi}{dx^2} - k^2 \psi = 0$$

$$\Rightarrow \psi(x) = A e^{kx} + B e^{-kx}$$

欧拉公式

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

量子光学

黑体辐射

1. 斯特藩-玻尔兹曼定律

$$M_0(T) = \sigma T^4$$

2. 维恩位移定律

$$\lambda_m T = b$$

3. 普朗克能量子假说

$$E = h \nu = \frac{hc}{\lambda}$$

光电效应

1. 爱因斯坦光电效应方程

$$h \nu - A = \frac{1}{2} m v^2 = e U_0$$

2. 光的波粒二象性

$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h \nu}{c}$$

康普顿散射

$$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = \frac{h}{m_0 c}(1 - \cos \theta)$$

玻尔原子模型

1. 里德伯方程

$$\tilde{v} = \frac{1}{\lambda} = R_H \left( \frac{1}{m^2} - \frac{1}{n^2} \right)$$

2. 角动量量子化条件

$$L = n \frac{h}{2 \pi} = n \hbar$$

3. 氢原子半径

$$r_n = n^2 r_1$$

4. 氢原子能量

$$E_n = \frac{E_1}{n^2}$$

物质波与波函数

物质波

$$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}$$

不确定度关系

1. 位置与动量的不确定度关系

$$\Delta x \Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$$

2. 能量与时间的不确定度关系

$$\Delta E \Delta t \ge \frac{\hbar}{2}$$

波函数

1. 波函数的统计解释

$$\rho(\vec{r}, t) = |\Psi(\vec{r}, t)|^2 = \Psi(\vec{r}, t)^* \Psi(\vec{r}, t)$$

2. 归一化条件

$$\iiint |\Psi(\vec{r}, t)|^2 \mathrm{d} V = 1$$

3. 波函数性质：单值、有限、连续（波函数及导函数）

4. 态叠加原理

$$\Psi = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \cdots + c_n \Psi_n$$

且体系处于$\Psi_k$态的概率为$|c_k|^2$

薛定谔方程

基本算符

1. 拉普拉斯算符

$$\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$$

2. 哈密顿算符

$$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r}, t)$$

含时的薛定谔方程

$$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t} = \hat{H} \Psi$$

定态薛定谔方程

$$\hat{H} \psi(\vec{r}) = E \psi(\vec{r})$$

$$\Psi(\vec{r}, t) = \psi(\vec{r}) e^{-\frac{i}{\hbar} Et}$$

定态问题

一维无限深势阱

1. 定态波函数

$$\psi(x) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \dfrac{n \pi x}{L}, & 0 \le x \le L \\ 0, & x < 0, \, x > L \end{cases}$$

2. 能量本征值

$$E_n = n^2 E_1 = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2 m L^2}$$

3. 正交归一性

$$\int_{-\infty}^{\infty} \psi_m^* \psi_n \mathrm{d}x = \delta_{mn} = \begin{cases} 1, & m = n \\ 0, & m \neq n \end{cases}$$

4. 完备封闭性

$$\psi(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} c_n \psi_n(x)$$

$$c_n = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_n^*(x) \psi(x) \mathrm{d}x$$

5. 波函数随时间演化

$$\Psi(x, t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \psi_n(x) e^{-\frac{i}{\hbar} E_n t}$$

6. 能量平均值

$$\langle E \rangle = \langle \Psi | \hat{H} | \Psi \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} \vert c_n \vert^2 E_n$$

一维有限深势阱

• 总存在一个偶宇称的束缚态（基态）
• 相同能级的能量低于一维无限深势阱

势垒隧穿

1. 概率流密度

$$\bm{J} = -\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^* \nabla \Psi - \Psi \nabla \Psi^*)$$

特别地，对平面波 $\Psi(x, t) = A e^{ikx} e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$，

$$J = \frac{\hbar k}{m} |A|^2$$

2. 反射系数

$$R = \left\vert \frac{J_r}{J_i} \right\vert$$

3. 透射系数

$$T = \left\vert \frac{J_t}{J_i} \right\vert \\$$

4. 即使在 $E < V_0$ 的情况下，透射系数 $T$ 不为零，即粒子能穿过比它动能更高的势垒。

一维谐振子

1. 势能函数

$$V = \frac{1}{2} \mu \omega^2 x^2$$

2. 波函数

$$\psi_0(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$$

$$\psi_n(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} H_n \left(\sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}x\right) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$$

或写成

$$\psi_n(x) = A_n (\hat{a}_+)^n \psi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{n!}} (\hat{a}_+)^n \psi_0(x)$$

其中

$$\hat{a}_\pm = \frac{1}{\sqrt{2 \hbar m \omega}} (\mp i \hat{p} + m \omega x)$$

3. 能量本征值

$$E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right) \hbar \omega$$

• 谐振子的能级是量子化且均匀分布的

物理量与算符

常见力学量的算符

1. 位矢

$$r \leftrightarrow \hat{r}$$

2. 势能

$$V(r) \leftrightarrow \hat{V}(r)$$

3. 动量

$$p \leftrightarrow \hat{p} = -i \hbar \vec{\nabla}$$

$$p_x \leftrightarrow \hat{p}_x = -i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

$$p_x^2 \leftrightarrow \hat{p}_x^2 = - \hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$$

$$p^2 \leftrightarrow \hat{p}^2 = \hat{p}_x^2 + \hat{p}_y^2 + \hat{p}_z^2 = - \hbar^2 \nabla^2$$

4. 动能

$$T \leftrightarrow \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2$$

5. 总能量

$$E \leftrightarrow \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)$$

6. 角动量

$$L = \vec{r} \times \vec{p} \leftrightarrow \hat{L} = \vec{r} \times \hat{p} = -i \hbar \vec{r} \times \vec{\nabla}$$

$$L_x \leftrightarrow \hat{L}_x = y \hat{p}_z - z \hat{p}_y$$

$$L_y \leftrightarrow \hat{L}_y = z \hat{p}_x - x \hat{p}_z$$

$$L_z \leftrightarrow \hat{L}_z = x \hat{p}_y - y \hat{p}_x$$

$$L^2 \leftrightarrow \hat{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2$$

厄米算符

$$\iiint \psi^* \hat{F} \varphi \,\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z = \iiint (\hat{F} \psi)^* \varphi \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z$$

• 厄米算符 $\iff$ 平均值为实数的算符 $\iff$ 本征值为实数的算符
• 力学量算符必须是线性厄米算符。
• 厄米算符本征函数的正交性：两个不同本征值的本征函数总是正交的。
• 厄米算符本征函数的完备性：厄米算符所对应的一组本征函数式完备的。

本征值与本征函数

1. 本征值与本征函数

$$\hat{F} u = \lambda u$$

• $u$ 称为本征函数，$\lambda$ 称为本征值
• 力学量 $F$ 的可能值与相应算符的本征值对应

2. 力学量的平均值

$$\langle \hat{F} \rangle = \int u^* \hat{F} u \, \mathrm{d}\tau \equiv \langle u \vert \hat{F} \vert u \rangle$$

3. 力学量的方差

$$(\Delta F)^2 = \langle (\hat{F} - \langle \hat{F} \rangle)^2 \rangle = \int u^* (\hat{F} - \langle \hat{F} \rangle)^2 u \, \mathrm{d}\tau$$

4. 哈密顿算符的本征方程

$$\hat{H} u = E u$$

5. 动量算符的本征方程

$$\hat{p} \psi = \bm{p} \psi$$

$$\Rightarrow \psi = Ce^{i \vec{p} \cdot \vec{r} / \hbar} \quad (\text{单色平面波})$$

6. 角动量平方算符的本征方程

$$\hat{L}^2 Y(\theta, \varphi) = \lambda \hbar^2 Y(\theta, \varphi)$$

$$\Rightarrow \hat{L}^2 Y_{lm}(\theta, \varphi) = l (l + 1) \hbar^2 Y_{lm}(\theta, \varphi)$$

• $Y_{lm}(\theta, \varphi)$ 为球谐函数

7. 角动量 $z$ 分量算符的本征方程

$$\hat{L}_z Y_{lm}(\theta, \varphi) = m \hbar Y_{lm}(\theta, \varphi)$$

对易关系

1. 对易的定义

$$\hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \equiv [\hat{A}, \hat{B}] = 0$$

• 力学量能同时确定（具有共同本征态）的充分必要条件是它们的算符对易。

2. 位置算符与动量算符的对易关系

$$[x, \hat{p}_x] = i \hbar \quad [x, \hat{p}_y] = 0 \quad [x, \hat{p}_z] = 0$$

3. 不确定度关系

$$\Delta A \Delta B \ge \frac{1}{2} \vert \langle [\hat{A}, \hat{B}] \rangle \vert$$